命题 若p则q 的否定

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1、命题若p则q的否定华东师范大学教育硕士张中发（工作单位：安徽省合肥一中）近日在读某数学杂志时，看到这样一句话：“命题“若p则q”的否定形式应为“若p则非q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定。”这个结论是不正确的。我们可以用真值表来回答这个问题：pq非q若p则q若p则非qP且非q真真假真假假真假真假真真假真假真真假假假真真真假从真值表我们可以看出，“p且非q”是“若p则q”的否定的等价命题，所以“若p则q”的否定是命题“p且非q”（记作“p且q”），而不是“若p则非q”。因为命题p与其否定非p的真假值应完全相反，即p真则非p假；p假则

2、非p真。下面举例说明上述真值表的合理性。例1：工人们承诺：如果工具齐全（p），他们就可以在今天完成工作(q)。那么就有四种可能发生：（1）工具齐全，工人们按时完成了工作。（p真q真）（2）工具齐全，但工人们没有按时完成工作。（p真q假）（3）工具不齐全，工人们仍然按时完成了工作。（p假q真）（4）工具不齐全，工人没有按时完成工作。（p假q假）毫无疑问，情况（1）说明工人遵守诺言，所以“若p则q”真；情况（2）说明工人没有信守诺言，此时“若p则q”为假；在（3）、（4）两种情况下，由于工具不齐全，所以不管工人完没完成工作，都不能说工人违背诺言，

3、我们认为“若p则q”仍然为真。这是因为在逻辑里，如果一个假言命题的条件是假的，那么不论其结论是真还是假均定义该假言命题为真。我们称这是“善意推断”。那么如可将“若p则q”改为否定形式呢？请看下例：3例2：写出下列命题的否定（1）若x2+y2=0,则x,y全为0。（2）若x=2或x=-1，则x2-x-2=0。（3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。解：（1）的否定：虽然x2+y2=0,但是x和y不全为0。（2）的否定：虽然x=2或y=-1，但x2-x-2≠0。（3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。即“若p则q

4、”的否定形式习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”。除了上述假言命题“若p则q”的否定形式要注意外，在数学中还经常出现“若p(x)则q(x)”的语句。它不是开语句（开语句即无法判断其真假的含有变元的语句，如：x+2>0等,开语句不是命题。），而是全称命题，只不过人们在用语言表达时省略了全称量词。例如：“被6整除的数能被3整除”，即为：x，若x能被6整除，则x能被3整除”；“若x2<9,则x<3”即为：“x，若x2<9，则x<3”；等等。因此，如果要写出“若p(x)则q(x)”的否定就须把全称量词添上，然后加以否定，即有：

5、x（若p(x)则q(x)）=x(p(x)且q(x))（注：表示任意；表示存在；表示非）。例3写出下列命题的否定（1）若x2<9，则x<2。（2）若a和b是偶数，则a+b是偶数。解：（1）的否定：存在x虽然x2<9但x≥2。(2)的否定：存在两个偶数a、b，而a+b不是偶数。由上述可知,“若p则q”的否定是“p且非q”,而不是“若p则非q”；“若p(x)则q(x)”的否定是：“x(p(x)且非q(x))”，一定要将全称量词补充完整。顺便提一句，“若p则q”的否命题是“若非p则非q”；“若p(x)则q(x)”的否命题是“x(若非p(x)则非q(x

6、))”。例4：写出例2、例3各命题的否命题解：例2：（1）的否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为0。(2)的否命题：若x≠2且x≠-1，则x2-x-2≠0。（3）的否命题：若集合B不真包含集合A，则集合A不包含于集合B。例3：（1）的否命题：x(若x2≥9，则x≥2)。（2）的否命题：a3b(若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数)。（注：全称量词如：任意、所有等可省略，但存在量词如：存在、有些等不可省略。）在教学中，也经常能看到一些教师犯本文开始提到的错误。只有理清该类型命题形式结构，性质关系。才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避

7、犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。3