《独立性检验》教学设计说明(董凯)

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1、新课标教材人教A版《数学2-3》(选修)第三章统计案例《独立性检验》教学设计说明大同一中董凯独立性检验的基本思想及其初步应用2×2列联表临界值问题背景分析统计量允许犯错误的概率的上界分类变量在“犯错误概率不超过”前提下，两分类变量有/无关观测值等高条形图分类变量间的关系独立性检验一、内容与内容解析《独立性检验》为新课标教材中新增加的内容.虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以

2、解答题的形式呈现，其重要性可见一斑.该内容是前面学生在《数学3》(必修)中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》(选修)中讲到的“反证法”类似的思想.本小节的知识内容如右图。“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概

3、率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界及的临界值→收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量的观测值→比较观测值与临界值并给出结论.本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.二、目标与目标解析本节课的教学目标是主要有：1.理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法

4、、步骤及应用。3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图法与独立性检验法)解决同一问题，并对各种方法进行比较。4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）.其中第2条是重点目标，也是《课程标准》中明确指出的教学要求之一.三、教学问题诊断分析基于对学生已有数学水平的分析，在本节新学内容时，有以下几点是初学者不易理解或掌握的：

5、1.的结构比较奇怪，来的也比较突然，学生可能会提出疑问.关于这个问题的处理，要首先利用好前面对“比例”或者两个分类变量“独立”的分析。借助两件事独立的定义以及样本容量较大时可以用频率近似表示概率，可以得到，考虑到近似造成的误差，未必恰好为0，但不会太大，于是这个值的平方占概率乘积的比例-2-应该较小。由于四对事件的独立具有等价性，故加和之后应该很小，而将此式化简之后即得的表达式(这个推导过程是我借鉴人教B版教材相应章节知识内容获悉的).另，由此可知越小说明两件事越“独立”，因此当它小于临界值时有利于说明二者独

6、立，大于或等于临界值时，有利于说明二者相关.2.如何理解独立性检验的基本思想？这个问题需要和反证法做一个对比，学生可以通过完成表格(印在学案上)以对二者的基本思想作比较并加以区别。表格内容如下：反证法思想用于独立性检验的假设检验思想目标证明结论成立结果只有一种情况：结论成立判断分类变量X与Y之间是否有关结果有两种可能：有关或无关构造两种情况：结论成立：结论的反面成立：X与Y之间无关(独立)：X与Y之间有关理论依据矛盾双方不可能同时成立但是有且只有一个成立在一次试验中，小概率事件(观测值大于等于临界值)几乎是不

7、可能发生的操作步骤1)假设的反面成立2)推导矛盾，从而不成立3)由不成立说明成立1)确定置信水平，找到临界值2)提出原假设，并假设成立，3)计算统计量的观测值4)通过比较与的大小给出结论：小则有利于成立，大有利于成立3.独立性检验的一般步骤是什么？由于教材一边解决问题，一边做讲解，因此结题思路显得有点散。然而细心提炼则不难总结出步骤，具体可大致分为4个阶段：①提出原假设:两个分类变量独立(无关)，备择假设:两个分类变量有关，并假设成立；②确定允许犯错误的概率的上界，找到临界值；③在下，计算的观测值；④若,此时

8、小概率事件发生，我们认为在一次试验中，小概率事件是不可能发生，所以假设出错，从而接受；若时，我们没有充分理由拒绝，也就没办法接受了.其中②③两个步骤属平级关系，可以调换次序.4.为什么在最后表达结论的时候要出现“在犯错误的概率不超过XX的前提下”这样的词.这也是初学者较难理解的问题，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能