2.1.2 函数的表示与定义域(理)

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1、§2.2函数的表示与定义域[知识要点梳理]1函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.⑶图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系.2．分段函数：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。它是一类较特殊的函数。注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.3．复合函数：设通过变量u，得到y关于x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数。记作。其中叫做外函数

2、，叫做内函数,u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。例如f(x)=2x-3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1，或g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11为复合函数。4.函数解析式的求法：①定义法（拼凑）；②换元法；③待定系数法；④赋值法。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数

3、法等5.定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循：“定义域优先”的原则。而确定函数的定义域的原则是：（1）当函数y=f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；（2））当函数y=f(x)是用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；（3）当函数y=f(x)是用解析式给出时，那么函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；（4）若y=f(x)是由实际问题给出时，则函数的定义域由实际问题的意义确定.6.由解析式表示的函数的定义域的求法：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f

4、(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；第13页共13页②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次（偶次）根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零。⑦若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。疑难点、易错点剖析1.求函数解析式应注意的问题：如果已知函数的解析式的类型时，可用待定系数法；已知复

5、合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这是要注意“元”的取值范围；若已给出抽象的函数满足特定的等量关系，则常用解方程组、消参的方法求出f(x);若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式在合在一起。2求函数定义域一般有三类问题：（1）、“自然”定义域.给出函数解析式的，函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；(2)、限定定义域:它是指受应用条件或附加条件制约的定义域。如由实际问题得出的函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；问题1：某种茶杯，每个5元，写出买。剖析：显然y与x满足关系：，其中x的取值范围（即该函

6、数的定义域）为N，故所求函数关系为：问题2：剖析：该函数的定义域已给定为{,1,2}，易知其值域为锦囊妙计：有些函数解析式可能来源于实际问题，命题者抛开实际问题的背景，直接给出从该实际问题中得到的函数关系，只要求解题者处理与该函数有关的问题(如求其值域或讨论该函数的性质等)，希望同学们不要总以为函数的定义域就是“使函数的解析式有意义的自变量的取值范围”这一片面的认识，同学们可结合问题1加以理解(本问题中函数的解析式为y=5x,显然使该解析式有意义的x的取值范围为R，但本问题中所得函数的定义域显然不是R).（3）复合函数的定义域对于复合函数的定义域，有两种

7、类型：即已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域。第13页共13页在求解时要看清是已知f(x)的定义域，求g(x)的定义域；还是已知f[g(x)]的定义域而求函数f(x)的定义域，这两类问题的本质不同，前者是解不等式，后者求值域。具体地说，已知f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需由g(x)∈D,求出x即得。例如若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由解出；若已知函数f[g(x)]的定义域为D，求函数f(x)的定义域只需由x∈D,求g(x)的值域。4.在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分

8、段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则