暴露思维过程案例分析(1)

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1、暴露思维过程案例分析——例谈利用单调性放缩数列不等式江苏省响水中学高数组魏立国邮编224600电话13625136192电子信箱wlg206633@sina.com数列不等式的证明，以其独特的魅力，倍受出题者的青睐，在高考和竞赛的舞台上，经久不衰。而数列不等式的证明，常常由于放缩的技巧性太强，又让普通学生望而止步。本文通过对通项为“分式或无理式”型数列不等式的放缩案例分析，让一般学生也能领略到数列不等式放缩中的美的意境。一、利用导数放缩数列不等式对于通项为“分式或无理式”型数列不等式的放缩，最基本的方法

2、是通项放缩后，可进行裂项相消，或者“”放缩后小于一个常数，化归为等比数列求和问题。利用导数放缩，实质就是扩大定义域范围，把原来“”与“”离散型变为连续型，通过求导数，寻求它们的取值范围，达到放缩的目的。案例1题目：已知函数是定义在上的奇函数，且当时取最大值1。（1）求出、、的值并写出的解析式。（2）若试比较与的大小并加以证明。（3）若求证：。（2007—2008年度江苏省盐城市四星级高中联考试题）该题第三小问，我市五万多名考生无人做对，难度之高，足以想见。本人现将命题者的解答提供如下：“（1）的定义域为

3、Ｒ，，又为奇函数，又当时，（2）又且，则，从而与矛盾，。3由第（2）小问可知。”当我们看完解答后，深深感觉到第（3）小问这种两次同时使用基本不等式放缩的技巧，不要说我们的学生，就是我们的一般老师，也是可望而不可及的。本题的通项是“”，与平常所见到的可以裂项相消的通项“”，只多了一个因式这就给我们一个信号，能否将放缩成一个常数。由可得，=，显然“”变成了只含的关系式，如果把离散型变成连续型，令，问题化归为寻找的值域问题，由得，当时，，当时，当时，又由第（2）小问可知，单调递增。小结：案例中，本人提供的解法

4、，实质就是在把“离散型”化归为“连续型”，利用导数放缩通项“”3。应该说，只要有这种意识，即使是普通学生，也能达到放缩的目的。二、利用单调性的定义放缩数列不等式案例2题目：求证：对一切，都有。分析：本题从通项放缩后，裂项相消目标不明显，如果从考虑，由根据单调性的定义易证，随增大而减小，则单调递减，所以所以。小结：本题之所以能够化归为等比数列求和问题，是因为利用了单调性，对“”进行了放缩。案例反思：1、利用导数对通项“”或“”放缩，其实质是化归为构造函数利用其导数求值域问题。这一转化大大降低了学生的思维难

5、度，符合一般学生的认知规律，贴近学生的思维最近发展区。2、利用单调性定义对“”放缩，看是平淡无奇的方法，但收到的效果是不言而喻的。这正是我们教师所追求的，在平淡中讲出精彩，让自然朴素的数学思想充满活力，把深奥的东西变得浅显，让全体学生收益。总之，在平常的教学中，教者要充分暴露思维过程，让学生感悟到数学的真谛。要用最简便易行、通俗易懂的方法，向学生展示数学独特的智慧之美。本文发表在《中学数学研究》2010年第8期3