圆和圆的位置关系-数学习题及答案

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1、一.内容：圆和圆的位置关系二.教学目标：1.使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。2.使学生掌握两圆连心线的性质。3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点。三.教学重点和难点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。四.教学过程：（一）复习：直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。（二）新课电脑演示，做两圆的

2、相对运动。1、定义：（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1））内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6））（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2））内切：两个圆有唯一的公共点，

3、并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4））（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3））注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公

4、共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。2、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？学生很可能只说出d＞R-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出d＜R+r，则还可能内切或内含。结合上图会发现R，r和O1O2构成△AO1O2的三边。所以只有R-r＜d＜R

5、+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立，于是有：为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：例：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米。求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？解：（1）设小圆⊙P与⊙O外切于点A，则PA=OP－OA=8－5=3cm所以⊙P1的半径是3cm（2）设大圆⊙P与⊙O内切于点B，则PB=OP+OB=8+5=13cm所以⊙P2的半径是13cm3、相切两圆的性质。P109思考观察发现：相切两圆也组成

6、轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）例：如图，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，△O1O2O的周长为18cm。求：⊙O的半径长。解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2∵⊙O1和⊙O2相外切∴O1O2=r1+r2又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切∴O1O=R－r1，O2O=R－r2。△O1O2O的周长为18cm即O1O2+O1O+O2O=（r1

7、+r2）+（R－r1）+（R－r2）=18。∴R=9（cm）例：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：直线O1O2垂直平分AB。证：连接O1A、O1B、O2A、O2B∵O1A=O1B∴O1在AB的垂直平分线上∵O2A=O2B∴O2在AB的垂直平分线上∵直线O1O2垂直平分AB总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。例：已知：两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过点O2。求∠O1AB的度数解：∵圆O1经过O2∴∠O1AO2=60°∵O1A=O1B，O2A=O2B∴∠O1AB=∠O1AO2=30°在解

8、决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。例：如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B，O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，CB与⊙O2相交于点D，连结AD。（1）求证：AD是⊙O2的直径。（2）求证：DA=DC。证明：（1）连结AB，∵AC是