分数阶微分方程_课件

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1、分数阶微分方程一、预备知识1、分数阶微积分经典定义回顾作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。（1）分数阶微积分的主要思想如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为

2、止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义,这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。1、分数阶微分的定义为了满足实际需要，下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的表达式。分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，所有推广方法的共同目标是以非整数参数取代经典微积分符号中的整数参数，实际上，任意的阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加：（1）由此，我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方式。首先，我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为（）阶微分，即是可实

3、现的。那么类似地可得到（1）的推广式为：（2）这种推广方式最初是由和提出来的，其中采用的是分数阶微分定义，他们称之为序列分数阶微分。序列分数阶微分的其他形式可以通过将替换为分数阶微分、分数阶微分或其他任意形式分数阶微分来得到。进一步，如果我们将（2）中的分数阶微分替换为不同阶数的分数阶微分可得到序列分数阶微分更一般的表达式：（3）根据问题的需要，可以是分数阶微分、分数阶微分、分数阶微分或其他任意形式的分数阶微分，从这一点看来，我们可以说序列分数阶微分从形式上给出了分数阶微积分在时域上的一个统一表达式，分

4、数阶微分、分数阶微分和分数阶微分都只是序列分数阶微分的一种特殊情况。故而，下面我们在对分数阶微积分方程进行理论分析的时候可以仅仅针对序列分数阶微积分来给出结论。3、M-R序列分数阶微分的Laplace变换下面我们考虑如下形式的序列分数阶微分的Laplace变换。（4）（5）（6）在R-L分数阶微分定义下有：（7）重复利用上式次可得：（8）注：虽然上述序列分数阶微分的Laplace变换是在R-L分数阶微分定义下进行证明的，但是该结论对其他几种分数阶微积分也是成立的。4、泛函理论基础定理1（Schauder

5、不动点定理）设是空间的有界闭子集，如果是连续映射，那么在中存在不动点，即使得的点存在。定义1（Lipschitz条件）设是距离空间，是从到的映射，如果存在常数，使得对所有的，则称满足条件，成为的常数。特别的，如果，则称为压缩映射。定理2（Banach压缩映像原理）设是距离空间，是压缩映射，则在中恰有一个不动点。设这个不动点为，则对任何初始点，逐次迭代点列，收敛于，且关于收敛速度有如下估计式：其中，是的常数。一、解的存在唯一性理论近年来，分数阶微分方程已经在国内外引起极大的研究兴趣，尤其是关于其解的性质的

6、研究，诸如存在性及唯一性等，其中大多数的研究方法是通过把分数阶初值问题转换成等价的分数阶积分方程,然后运用不动点定理来得到分数阶初值问题解的存在唯一性结果。已有研究结果主要有以下限制：（1）函数的定义区间为有限区间；（2）函数在定义域上需满足条件；因此，目前人们在这方面所做的工作都是希望设法在放宽上述两个限制条件后给出分数阶微积分方程的解的存在唯一性定理。下面我们对分数阶微分方程初值问题的现有理论结果作一个简单的介绍，相应的结论都是针对定义在有限区间上的M-R序列分数阶微分形式，在满足条件下给出的，当然

7、，由前面的介绍可知，这些结论也可直接推广到其他分数阶微分形式。1、线性分数阶微分方程解的存在唯一性定理考虑如下形式的初值问题：且，即（11）第一步：假设，考虑由此得到的退化问题解的存在唯一性。定理1如果，则方程（12）有满足初值条件（10）的唯一解。定理的证明过程如下：步骤一通过Laplace变换证明解的存在性；下面我们设法构造一个待求解问题解，对式（12）做Laplace变换可得：（13）其中，、分别是、的Laplace变换。利用初值条件（10）可得：（14）对上式做Laplace逆变换可得：（15）

8、步骤二由分数阶微分的线性性和Laplace变换的性质证明唯一性。假设有存在两个满足上述初值问题的解、令，有分数阶微分方程的线性性可得：（16）从而有（17）由Laplace变换的性质可知：在上几乎处处成立。故原方程的解在上唯一。注：上述证明过程中用到的Laplace变换法是一种常用的分数阶微分方程求解方法，该方法步骤简单，适用范围较广，在实际中有着重要应用，后面将对其进行详细介绍。第二步：运用第一步的结论证明原初值问题解的存在唯一性。定理2