华约联考数学模拟试题(3)

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1、CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn华约联考数学模拟试题（3）1.已知△不是直角三角形.（1）证明：.（2）若，且的倒数成等差数列，求的值.2.设,,,为抛物线上不同的四点，，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线.设到直线，直线的距离分别为，，已知.（1）判断△是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（2）若△的面积为240，求点的坐标及直线的方程.3.已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及质量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重

2、心还在圆柱轴的中点处.（1）若，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn4.已知函数.令.（1）求数列的通项公式；（2）证明.5.假定亲本总体中三种基因型式，，的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个.（1）求子一代中三种基因型式的比例；（2）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由.CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn6.已知双曲线分别为的

3、左、右焦点.为右支上一点，且使.（1）求的离心率；（2）设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数,使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7.将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续3次正面向上的概率.（1）求；（2）探究数列的递推公式，并给出证明；（3）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的统计意义.CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn【答案与解析】1.【解】（1），整理，得.（2）由已知得，与（1）比较知.又因为，所以，即.而，，代入得，，解得，从而易得.2.【解】（1）如图，不妨设在的右边

4、，在的上边，，令，，则，设直线，代入得，，所以，，即是的角平分线.CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn在“筝形”中，由是正方形，所以△是直角三角形.（2）由（1）知：，，从而直线，代入得，由弦长公式得，直线，代入得，由弦长公式得.由，所以.当然，若设在的左边，则应有.3.【解】不妨设水杯的高为1.（1）这时水杯质量:水的质量=2:3，水杯的重心位置（此处的位置指重心到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为，所以水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值也为.（2）设装入克水可以使水杯的重心最低，这时

5、水杯质量:水的质量=:，水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是装入水后的水杯的重心位置为，CCTT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn当且仅当即时上式取等号，所以装入克水可以使水杯的重心最低.4.【解】由.（1）先求出，猜想,用数学归纳法证明:①当时显然成立；②假设当时结论成立，即，则当时，，结论同样成立.综上所述，由数学归纳法知.（2）原不等式等价于证明,事实上，,我们注意到，于是将代入就有:.5.【解】（1）父亲的基因有，，三种，母亲的基因也有，，三种，搭配起来就有九种情形，列表如下：父、母、、、、、0020000CC

6、TT中国网课——专业自主招生辅导网站www.cctt.cn父、母、、、、000000把每行数据相加得子一代的三种基因型式，，的比例为：::=(+2+):(2+2+2+2):(+2+)=,这就是子一代的三种基因型式，，的比例；（2）设，上式即，且.由于，将分别看做，则由（1）的结论可知子二代的三种基因型式，，的比例为：::=::=，故子二代的三种基因型式，，的比例与子一代的比例相同.6.【解】（1）记，则.在中应用余弦定理得:，所以；（2）因为，所以，从而，，且双曲线.因为为第一象限内上的点，所以若设，就有，且当；当，.当所以；CCTT中国网课——专业自

7、主招生辅导网站www.cctt.cn当因为，所以.综合以上的讨论知存在常数,使得恒成立.7.【解】（1），，，.（2）掷次硬币不连续出现三次正面向上，记{}是末次抛掷为正面向上的所有可能情形数，{}是末次抛掷为反面向上的所有可能情形数，则有，所以（3）显然，所以有下界，又，所以从第4项起单调递减，根据单调有界的数列有极限，知有极限.若令，则，所以，可得.统计意义：抛掷无限进行下去，“连续出现三次正面向上”是必然事件.