lp金字塔结构的多尺度分析

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1、拉普拉斯金字塔结构的多尺度分析摘要1、引言在小波分析中，由于小波具有对尺度性质，因而引入多尺度分析理论，在多尺度分析的框架下，可以方便的构造小波函数。与小波相似，拉普拉斯金字塔(LP)结构也具有多尺度性质，本文将就LP结构的多尺度分析进行详细的阐述。文章将按照如下结构进行：首先介绍典型的LP结构，包括其分解和合成部分；其次利用多项域分析得出LP结构的等效过采样滤波器组（FB）结构；最后将利用LP结构的等效FB结构进行多尺度分析。2、拉普拉斯金字塔(LP)结构LP结构的基本思想如下：由原始图像信息通过低通滤波器及

2、下采样得到其轮廓信息（或者称逼近信息）。基于这样的轮廓信息，预测原始信息（通过上采样和滤波器）并计算预测信息与原始信息的差值作为预测误差。通常情况下，对于重构而言，只需要简单的将预测差值与轮廓信息相加即可。这样的处理过程可以对轮廓信息不断的迭代重复。图1分别给出了LP结构的合成和分解部分：图1LP结构：（a）分解：输出为轮廓信息c和原始图像与预测的差值d，该过程可对得到的轮廓信息进行反复迭代（b）一般的合成部分根据图1给出的LP结构，我们首先考虑单层级且M为2的情况：生成的轮廓信息为：其后进行上采样并滤波后的结

3、果为：将信号写成列向量的形式，如：，我们可以用乘法矩阵的形式表示上述公式：和其中H和G分别对应于和，即定义I为单位阵，则LP的差值信号可以写为：因此，我们可以将LP结构的分解部分写为：合成部分为：,或者上述部分中说给出的LP矩阵表示虽然使用简单，但是并不利于揭示LP结构中矩阵块结构。为了克服这一不足，我们引入LP的多相域表达。在M为2时，信号的多相分解为：其中是形式为Mt的整数向量集合。信号可以通过将其上采样和变换信号与其多相成分相加重构。我们知道x的z域表示为：因此，信号可以通过其多相成分的向量表示，即：鉴于

4、与分解滤波器H是反相的，合成滤波器G的分解与之类似。这样经过滤波和下采样后的结果就为：或者在z域中：其中类似的，上采样和滤波后的多相成分为：z域中：,其中因此，LP中差值信号的多相向量为：最终，我们可以得到LP结构中分解部分的多相域表示：该表达式与时域中的表达式很类似，我们可以交替的使用其时域表达与多相域表达。LP结构的一个缺点是过采样，虽然在压缩应用常常被临界采样且通常是正交分解的小波变换所取代，但是它有优于临界采样小波方案之处：每一金字塔层级都只产生一个带通信号，即使是在多方向的情况下。这一性质使其可以应用

5、许多采用coarse-to-fine策略的多尺度算法。此外，LP中生成的带通信号不会有临界采样中的“干扰”频率。3、LP结构的等效过采样滤波器组（FB）结构上节中给出的LP多相矩阵启发我们可以将差值信号的每一多相成分分别看做是滤波和采样的结果。我们可以将LP结构重新表示成一过采样滤波器组（FB），如图2所示：图2LP的等效过采样FB结构，其中