2011数值分析第一次作业及参考答案

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1、数值计算方法第一次作业及参考答案1.已测得函数的三对数据:(0,1),(-1,5),(2,-1),(1)用Lagrange插值求二次插值多项式。(2)构造差商表。(3)用Newton插值求二次插值多项式。解:(1)Lagrange插值基函数为同理故(2)令,则一阶差商、二阶差商为实际演算中可列一张差商表:一阶差商二阶差商01-15-42-1-21(3)用对角线上的数据写出插值多项式2.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?解:131.求在[a,b]上的分段线性插值函数,并估计误差

2、。解:2.已知单调连续函数的如下数据-0.110.001.501.80-1.23-0.101.171.58用插值法计算约为多少时(小数点后至少保留4位)解:作辅助函数则问题转化为为多少时,此时可作新的关于的函数表。由单调连续知也单调连续,因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为故131.设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式,使其满足,,,。并写出误差估计式。解:由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式,由题意可设为确定待定函数,作辅助函数:则在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至

3、少有5个零点为二重零点),反复应用罗尔定理,知至少有一个零点使,从而得。故误差估计式为2.设函数在节点的函数值均为零,试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数:(1)(2)解:(1)取处的一阶导数作为参数,。由于以及由三转角方程得由于从而解之可得13故(2)取处的二阶导数作为参数,。由于以及由三弯矩方程由于代入方程可得故7.编程实现题:略。8、试求最佳一次一致逼近多项式。解:因为在内不变号,故最佳一次一致逼近多项式为式中从而9、给定,试利用最小零偏差定理,即切比雪夫多项式的最小零偏差性质,在上求的三次最佳一致逼近多项式。解:令13设为

4、在上的三次最佳一致逼近多项式,由于的首项系数为,故10、设,分别在上求一函数,使其为的最佳平方逼近,并比较其结果。解:13由结果知(1)比(2)好。11、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并计算均方误差。192531384419.032.349.073.397.8解:1312、用格拉姆-施密特方法构造正交多项式求在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式。(参考讲义与参考书)解:构造正交多项式于是所以,在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式为13、求在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。(参考讲义与参考书,利用Lege

5、ndre正交多项式)解先计算。;;13;;又有,,,得均方误差14、A、B、C三点连成一条直线,AB长为,BC长为,某人测量的结果为米,米,为控制丈量的准确性,又测量米,试合理地决定和的长度。(小数点后取四位有效数字)解:令为AB的所求值,为BC的所求值,则在最小二乘意义下,要达到极小,即求的极小点。令解的。故应取。15、求函数13在区间[-1,1]上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法?选一种方法解本题,并估计误差。(参考讲义与参考书)解:三种方法,见参考讲义。(1)截断切比雪夫级数由富利叶级数系数公式得,它可用数值积分方法计算,得

6、到由及的公式得到(2)拉格朗日插值余项的极小化由的4个零点做插值点可求得,(3)台劳级数项数的节约应用的台劳展开,取,得作为的近似,其误差为,由于则其中13用做的逼近多项式,其误差为若再用代入可求出16.编出用正交多项式(格拉姆-施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。(参考讲义与参考书)略。17.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1)2)解:(1)三个参数,代入1318、已知,(1)推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式。(2)求上述求积公式的代数精确度。(3)用上述

7、公式计算。解:(1)过三点的二次插值为故有其中故求积公式为(2)因为上述由二次插值推出,故至少具有二次代数精度,将代入有故该求积公式的代数精度为3次。13(3)19、如果要用复化梯形公式计算积分,试问应将积分区间[a,b]分成多少份,才能保证误差不超过。解:已知将[a,b]分成n份的复化梯形公式的余项为记,则按要求应满足故,为上取整。20、已知勒让德(Legendre)正交多项式有三项递推关系式:试确定三点的高斯—勒让德(G—L)求积公式的求积系数和节点,并利用此公式写出的计算式(无需计算结果)。解:由递推关系式得三次勒让德正交多项式令,

8、其三个零点为则所求的高斯求积公式为因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度,令上述高斯求积公式对均精确成立,13所以三点的高斯-勒让德求积公式为对,作变换,把积分区间[1,2]化为区间[-1,1

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