2011数值分析第一次作业及参考答案

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1、数值计算方法第一次作业及参考答案1.已测得函数的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。解：(1)Lagrange插值基函数为同理故（2）令，则一阶差商、二阶差商为实际演算中可列一张差商表：一阶差商二阶差商01－15－42－1－21（3）用对角线上的数据写出插值多项式2.在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长应取多少？解：131.求在［a,b］上的分段线性插值函数，并估计误差

2、。解：2.已知单调连续函数的如下数据－0.110.001.501.80－1.23－0.101.171.58用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为故131.设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式，使其满足，，,。并写出误差估计式。解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式，由题意可设为确定待定函数，作辅助函数：则在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至

3、少有5个零点为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点使，从而得。故误差估计式为2.设函数在节点的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数：（1）（2）解：（1）取处的一阶导数作为参数，。由于以及由三转角方程得由于从而解之可得13故（2）取处的二阶导数作为参数，。由于以及由三弯矩方程由于代入方程可得故7．编程实现题：略。8、试求最佳一次一致逼近多项式。解：因为在内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为式中从而9、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在上求的三次最佳一致逼近多项式。解：令13设为

4、在上的三次最佳一致逼近多项式，由于的首项系数为，故10、设，分别在上求一函数，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。解：13由结果知（1）比（2）好。11、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。192531384419.032.349.073.397.8解：1312、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）解：构造正交多项式于是所以，在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为13、求在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Lege

5、ndre正交多项式）解先计算。；；13；；又有，，，得均方误差14、A、B、C三点连成一条直线，AB长为，BC长为，某人测量的结果为米，米，为控制丈量的准确性，又测量米，试合理地决定和的长度。（小数点后取四位有效数字）解：令为AB的所求值，为BC的所求值，则在最小二乘意义下，要达到极小，即求的极小点。令解的。故应取。15、求函数13在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）解：三种方法，见参考讲义。（1）截断切比雪夫级数由富利叶级数系数公式得，它可用数值积分方法计算，得

6、到由及的公式得到（2）拉格朗日插值余项的极小化由的4个零点做插值点可求得，（3）台劳级数项数的节约应用的台劳展开，取，得作为的近似，其误差为，由于则其中13用做的逼近多项式，其误差为若再用代入可求出16.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）略。17．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1）2）解：（1）三个参数，代入1318、已知，（1）推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。（2）求上述求积公式的代数精确度。（3）用上述

7、公式计算。解：（1）过三点的二次插值为故有其中故求积公式为（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将代入有故该求积公式的代数精度为3次。13（3）19、如果要用复化梯形公式计算积分，试问应将积分区间［a,b］分成多少份，才能保证误差不超过。解：已知将［a,b］分成n份的复化梯形公式的余项为记，则按要求应满足故，为上取整。20、已知勒让德（Legendre）正交多项式有三项递推关系式：试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式的求积系数和节点，并利用此公式写出的计算式（无需计算结果）。解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式令，

8、其三个零点为则所求的高斯求积公式为因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对均精确成立，13所以三点的高斯－勒让德求积公式为对，作变换，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1