m次整函数中的素数

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1、m次整函数中的素数李联忠(营山中学四川营山637700)摘要:m次函数f(n)=,为正整系数,n取正整数,若()≠1,函数值f(n)中素数有1个或0个;若()=1,可分解为两因式的积,函数值f(n)中素数有1个或0个,若()=1,不能分为两因式的积,函数值f(n)中有无穷多个素数。也即是说,m次整函数中算出有两个素数,则其中必有无穷多个素数。关键词:数论m次整函数素数中图分类号:文献标识码:文章编号:引理1:=2证明:因为Euler(欧拉)曾经推导出了以下结果:()即有所以。Euler还证明了以下结果:,其中

2、称为Euler常数。所以。∴=2引理1得证。引理2:(等差数列的素数定理)(pi,ai)=1时,末项不大于N的等差数列ai+npi中,当N→∞时,其素数个数π(pi)~。(是欧拉函数。=pi-1。引理3:在连续自然数23…(n+1)中去掉模素数p余0(p本身除外)和模p余非零的(h-1)个同余类(商0的余数除外)后,素数个数π(n)有如下公式(p为不大于a的素数,)证明:由素数定理可得由引理1得=2∴即因此,连乘积n表示的素数个数与实际个数的误差总趋势(不计小波动)是不断变大,到无穷大时,误差达到最大值,否则

3、,即只存在波动误差的话则=1或极限不存在。∴素数个数π(n)=λn而素数个数是去掉模p余0的一个同余类,(p本身除外)由引理2有在π(n)个素数中再去掉(≥3)的一个非0同余类(商0的那个非0余数除外)后,余下素数个数约为π(n)去模p余0与模p余非0的另一同余类是等价的,所以在π(n)个素数中再去每一个模不大于的素数(=2除外)的一个非0同余类(商0的那个非0余数除外),余下的素数个数()以此类推可得()因为在去模p余0和去模p余非0的同余类时,p本身和商0的同余数没有去,所以有()(p为不大于a的素数,)

4、引理3得证。定理:m次函数f(n)=,为正整系数,n取正整数,若()≠1,函数值f(n)中素数有1个或0个;若()=1,可分解为两因式的积,函数值f(n)中素数有1个或0个,若()=1,不能分为两因式的积,函数值f(n)中有无穷多个素数。也即是说,m次整函数中算出有两个素数,则其中必有无穷多个素数。证明:显见,m次函数f(n)=,为正整系数,n取正整数,若()≠1,函数值f(n)中素数有1个或0个;若()=1,可分解为两因式的积,函数值f(n)中素数有1个或0个,证明略当()=1,不能分为两因式的积,∵≡0(

5、modp),有1,2…m或0解∴应去掉1,2…m或0个模p的同余类据引理3可得π()……∴π()∵∴π()定理得证。

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