一次整函数中的素数

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1、一次整函数中的素数李联忠（营山中学四川营山637700）摘要：一次式f（n）=an+b,a、b为正整系数，n取正整数，若（a,b）≠1,函数值f(n)中素数有1个或0个；若（a,b）=1,函数值f(n)中有无穷多个素数。关键词：一次整函数素数中图分类号：文献标识码：文章编号：引理1：=2证明：因为Euler（欧拉）曾经推导出了以下结果：()即有所以。Euler还证明了以下结果：，其中称为Euler常数。所以。∴=2引理1得证。引理2：(等差数列的素数定理)(pi,ai)=1时，末项不大于N的等差数列ai+npi中，当N→∞时，其素数个数π(

2、pi)～。(是欧拉函数。=pi-1。引理3：在连续自然数23…(n+1)中去掉模素数p余0（p本身除外）和模p余非零的(h-1)个同余类（商0的余数除外）后，素数个数π(n)有如下公式（p为不大于a的素数，）证明：由素数定理可得由引理1得=2∴即因此，连乘积n表示的素数个数与实际个数的误差总趋势（不计小波动）是不断变大，到无穷大时，误差达到最大值，否则，即只存在波动误差的话则=1或极限不存在。∴素数个数π(n)=λn而素数个数是去掉模p余0的一个同余类,（p本身除外）由引理2有在π(n)个素数中再去掉（≥3）的一个非0同余类（商0的那个非0

3、余数除外）后，余下素数个数约为π(n)去模p余0与模p余非0的另一同余类是等价的，所以在π(n)个素数中再去每一个模不大于的素数(=2除外)的一个非0同余类（商0的那个非0余数除外），余下的素数个数（）以此类推可得（）因为在去模p余0和去模p余非0的同余类时，p本身和商0的同余数没有去，所以有（）（p为不大于a的素数，）定理得证。定理：一次式f（n）=an+b,a、b为正整系数，n取正整数，若（a,b）≠1,函数值f(n)中素数有1个或0个；若（a,b）=1,函数值f(n)中有无穷多个素数。证明:若（a,b）≠1设（a,b）=u则a=ucb

4、=ud∴f(n)=an+b=u(cn+d)即函数值f(n)有一个素数或0个素数若（a,b）=1据引理3得∵∴≥当n→∞时，→∞