数值计算方法思考题

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1、数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？6．判断如下命题是否正确：（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。（4）高精度运算可以改善问题的病态性。（5）用一个稳定

2、的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。（7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。7．考虑二次代数方程的求解问题ax2+bx+c=0.下面的公式是熟知的.与之等价地有.对于a=1,b=-100000000,c=1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开如果对x<0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？9．考虑数列xi,i=1,…,n,它的统计平均值定义为它的标准差数学上它等价于作为标准差的两种

3、算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a)非线性方程的解通常不是唯一的；(b)Newton法的收敛阶高于割线法；(c)任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法；(d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e)如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f)Newton法是有可能不收敛；(g)考虑简单迭代法xk+1=g(xk)，其中x*=g(x*)。如果

4、g¢(x*)

5、<1，则对任意的初始值，上述迭代都收敛。2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶的？3．求解单变量非

6、线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？(a)二分法(b)Newton方法(c)割线方法4．求解单变量非线性方程的解，Newton法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几次函数值和导数值？5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton法和割线方法它的优劣应如何评价？第三章解线性方程组的直接法1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？2．高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？3．乔列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？4．哪种线性方程组可用平

7、方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(aij)的三种范数

8、

9、A

10、

11、1，

12、

13、A

14、

15、2，

16、

17、A

18、

19、∞，

20、

21、A

22、

23、1与

24、

25、A

26、

27、2哪个更容易计算？为什么？8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。10．判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序

28、消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。（7）奇异矩阵的范数一定是零。（8）如果矩阵对称，则

29、

30、A

31、

32、1=

33、

34、A

35、

36、∞。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。（11）

37、

38、A

39、

40、1=

41、

42、AT

43、

44、∞。（12）若

45、A是n´n的非奇异矩阵，则。（13）一个奇异的矩阵不可能有LU分解；（14）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。11．假设矩阵A有cond(A)=1，从而A是好条件的。问下面的哪些矩阵条件数也一定是1？（a）cA，其中c是任意的非零常数；（d）QA，其中Q是任意的正交矩阵；（b）DA，其中D是非奇异的对角矩阵；（e）A的逆矩阵；（c）BA，其中B是任意的非奇异矩阵；（f）A的转置矩阵。第四章解线性方程组的迭代法1．写出求解线性方程组Ax=b的迭代法的一般形式。并给出它收敛的充分必要条件。2．给出迭代法收敛的充分条件、误差估计及

46、其收敛速度。3．写出解线性方程组Ax=b的雅可比迭代法与高斯-塞德