高等代数专题研究网上教学活动文本

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1、高等代数专题研究网上教学活动文本（2004.12.14）瞿炜：老师们，同学们大家好！今天，我们进行《高等代数专题研究》的期末复习和答疑，欢迎大家提问问：<高等代数>考题的题型和以前的考题的题型一样吗?瞿炜：考题的题型是一样的，只是更注重概念的理解，大家应多注意基本的东西，即基本概念，典型例题，不要搞太难的东西。瞿炜：复习重、难点第一章1.熟练掌握集合的定义及其表示方法，集合与元素、集合与集合的关系以及集合的运算。2.理解映射的定义，映射相等和映射的主要性质。熟练掌握映射的合成和求逆映射的方法。了解置换。3.了解代数运算与代数体系的概念，以及代数运算的结合律、交

2、换律和分配律等性质。知道代数系统同态和同构的概念。4.了解自然数的定义，掌握自然数的运算。5.掌握各种归纳法及其应用，主要是第一、第二归纳法第二章1.理解不等式的定义和主要性质，熟练掌握常用解不等式和不等式的证明方法。2.掌握柯西不等式的应用。3.理解凸函数的定义和性质，掌握它的某些应用。第三章1.了解环、交换环的定义，知道环的分类和子环定义。2.理解整环的概念，知道理想、可逆元素的定义。3.掌握素元素、不可约元素和相伴元素的定义及其区别。4.熟练掌握整系数多项式因式分解的方法。5.了解多项式的代数定义和分析定义的异同。6.知道代数基本定理，及相关结论。7.掌

3、握多项式零点的估计方法。8.了解重因式和单因式定义，掌握其判别法。第四章理解加法原理和乘法原理。熟练掌握初等排列和组合。2.掌握可重复排列与组合。了解排列组合模型，熟练掌握排列组合公式。3.理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。4.了解递推公式原理、扰乱排列、积和式、母函数等的概念。5.知道抽屉原理的简单形式，会简单应用。瞿炜：吴老师好!下午好!你们的学生学习这门课的大约有多少?吴旗东：大约有二百人左右。吴旗东：做考试说明上的练习对考试有帮助吗？瞿炜：有帮助，还可以参考网上的第一、二、三、四章的辅导吴旗东：期末复习时同学应注意哪些问题.瞿炜：注重基本

4、概念的理解，即基本概念，典型例题，以往考过的一些基本东西，比如集映射的概念、个数自然数的定义、皮阿罗定理的含义等，不要搞太难的东西各章典型例题：第1章例1．写出集合A={1，2，{3}}的幂集根据幂集所含元素的个数，知含有=8个元素。则={，{1},{2},{{3}},{1，2},{1，{3}},{2，{3}},{1，2，{3}}}例2．设集合A=｛1，2，3｝，B={a,b}，试写出A到B的所有不同映射。不同映射的个数为个，分别为；；；；双射（一一映射）：既满且单的映射。如(nÎZ)是一个从整数集Z到自然数集N的的单映射，但不是满映射（1没有对应）．例43证

5、明(nÎZ)是一个从整数集Z到自然数集N的的双射．证明：任取n1，n2ÎZ，且n1≠n2，则f(n1)≠f(n2)，f(n)是单射;任取f(n)ÎN，若f(n)为奇数，则有n≥0,使f(n)=2n+1与之对应；若f(n)为偶数，则有n<0，使f(n)=与之对应。所以f(n)是满射所以f(n)是从Z到N的双射例54求(1)s－1；(2)st．解：(1)(2)st==例5．设R是实数集，对R中的任何两个元素a和b，规定：其中＋，－，×是普通实数的加、减、乘法运算．证明运算°满足结合律．证明"a,b,cÎR，＝＝＝＝所以，运算°满足结合律．例6叙述自然数定义第2章例

6、１已知，解不等式解：设所给不等式的定义域为，即欲使，则必有把实数分为区间因为已知，所以只需在讨论。显然在内，；在内，；在内，又因为，所以不等式的解为例2．设x，y，z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=9求f(x,y,z)=3x+6y+5z的极大值．解利用柯西不等式3x+6y+5z＝3x×1+＝所求极大值是81．例3叙述凸函数定义例4．若,求的最小值。解设，已知是下凸函数，对任意的且，有所以的最小值为。第3章例1证明剩余类环是交换环证明：剩余类环是有限环，任取中的元素，有则剩余类环是交换环。例2找出剩余类环的真零因子解剩余类环，所以剩余类环的真零因子为

7、2和3例3设Z}，证明集合R对于普通数的加法和乘法构成一个整环．证明易知R对于数的加法和乘法封闭．，在R中有零元．，即存在负元素．＋，×满足结合律，且×对＋满足分配律．存在,，总之，R是整环．例4叙述可逆元素、不可约元素、素元素和相伴元素定义例5求被除的余式？解由余式定理知用除，余式为，则所求余式为=16例6求剩余类环的多项式方程的根。解设多项式方程为因为，，，，所以剩余类环的多项式方程的根为为多项式方程的根。例7叙述多项式的代数定义和分析定义的区别？（参见教材）例8求方程f(x)=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6的根的上下限解由上述结论1，f(x)的

8、根的模上限为1+=7，再由结论2可得的