复习专题12--方程的根

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1、有关方程的根的专题不务正业原创1、利用配方或因式分解的方法（这个最常用）2、利用判别式△进行求解，实际上用的是求根公式，本质上还是配方法。3、图像法。（与X轴的交点的横坐标就是方程的解）4、利用两函数的交点来求解。（交点的横坐标就是方程的解）5、利用函数的零点与根之间的关系求解。（零点的横坐标就是方程的解）一、解方程：x2+3x=01、用利用配方或因式分解、判别式△的方法很快求出方程有两解：x1=0；x2=-32、图像法，也很快：图13、利用两函数的交点来求解。（交点的横坐标就是方程的解）令f(x)=x2+3xg(x)=0则原方程的解可转化为f(x)=g(x)来求

2、解。图24、利用函数的零点与根之间的关系求解。（零点的横坐标就是方程的解）图3二、解方程：x2+3x+k＝01、利用函数零点来求解解：令f(x)=x2+3x+k=(x+)2+k-顶点坐标C（）f(0)=kf(x)=x2+3x+k=(x+)2+k-图4①显然，当k-＜0时，即k＜时，f(x)有两个零点，即方程有两个不等的实根。图4图4②、当k-=0时，即k=时，f(x)有1个零点，即方程有1个实根。图5③、当k-＞0时，即k＞时，f(x)没有零点，即方程没有实根。图62、利用两函数的交点来求解解：原方程可化为：x2+3x＝-k令f(x)=x2+3x=(x+)2-g(

3、x)=-k图7图7①当g(x)＞-时，即k＜时，f(x)与g(x)有两个交点，即方程有两个不等的实根。②、当g(x)-=0时，即k=时，f(x)与g(x)有1个交点，即方程有1个实根。③、当g(x)＜-时，即k＞时，f(x)与g(x)没有交点，即方程没有实根。实际上用判别式△求解的结果是一样的，试着解一下（前提是△≥0）。三、讨论：x4+3x2+k=0 k与方程根的关系。分析：形如这种方程，直接讨论方程的根的情况有难度。因此要作适当变形转换。可令x2=t(必有t≥0)，这样，原方程就转化为t2+3t+k，这样就转化为讨论t有几个“非负解”的问题了。显然，如果t=0

4、，则x与1个值与之对应，即，原方程有1个解；如果t＞0,则x与2个值与之对应，即，原方程有2个解。当然，对于t的对称轴在“y”轴的左边时，要注意，t可能只有一个符合条件的解，此时t=0。解：令x2=t(t≥0)，原方程就转化为t2+3t+k＝0，这个就与前面第二种情况一样了。1、利用函数零点。令f(t)=t2+3t+kf(0)=k图8因为t≥0,所以只有实线部分所示的曲线才是我们所需要的t的函数图像。要保证t在“y”轴的右边有交点，必须有：f(0)≥0所以①当f(0)＝k=0时，t有1解，此时t=0，对应的x有一解，即，此时方程有一解。②当f(0)＝k＜0，t有1

5、解，此时t＞0，对应的x有2解，即，此时方程有2解。（注意，尽管t有两个解，但因为t1＜0,不合题意。）③当f(0)＝k＞0，t1、t2均小于0，不合题意。2、利用函数交点来解。原方程就转化为t2+3t＝-k令f(x)=t2+3tg(x)＝-k图9①当g(t)=-k＞0时，即k＜0时，f(t)与g(t)有1个交点，此时t＞0，对应的x有2解，即，此时方程有2解。②、当g(t)=-k=0时，即，k=0时，f(t)与g(t)有1个交点，t有1解，此时t=0，对应的x有一解，即此时方程有一解。③、当g(t)=-k＜0时，即，k＞0时，f(t)与g(t)没有交点，t无解。

6、四、讨论：x4-3x2+k=0 k与方程根的关系。分析：有人认为，这个与第三种类型是一样的，也可以这样说，但实际上，还是有一点区别的，因为第三种情况，方程至多有2个解，但本例方程不可能有1个解（或者说不可能有相等的两个实根，因为对称轴在“y”轴的右边，要么就无解，如果有解，解肯定大于0，不可能单独存在一个根为0的情况，如果一个为0，则必有另外一个根大于0）；可能有两个解，两个不相等的实根；可能有4个解，4个不相等的实根。当然，本质确实是一样的。解：令x2=t(t≥0)，原方程就转化为t2-3t+k＝0。1、利用函数零点来求解解：令f(x)=x2-3x+k=(x-)

7、2+k-顶点坐标C（）f(0)=k图10①当f(0)＝k＜0时，t有1正解，对应的x有2解，即，此时方程有2解。②当f(0)＝k＝0，t有2个解，t1=0，t2＞0,对应的x有3解，即，此时方程有3解。③当f(0)＝k＞0，但同时必须保证f(x)有零点，则必须保证△≥0，即当0＜k＜时，有2个正解，对应的x有4解，即，此时方程有4解。④当f()＝k-＝0，即k=时，t有1个解，此时t=，对应的x有2解，即，此时方程有2解⑤当f()＝k-＞0，即k＞时，t无解，此时方程无解。总结：用顶点坐标来衡量时，不用考虑判别式△，因为它本身就能反映与X轴有无交点。但用f(0)来

8、衡量时，因