第二篇 函数与基本初等函数ⅰ第2讲 函数的单调性与最值

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1、第2讲 函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1.考查求函数单调性和最值的基本方法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.【复习指导】本讲复习首先回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握:(1)函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的各种基本方法;对常见题型的解法要熟练掌握.基础梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个

2、自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件.①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I

3、,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数y=分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接.两种形式设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;<0⇔f(x)在[a,b]上

4、是减函数.②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.四种方法函数单调性的判断(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.(3)导数法:利用导数研究函数的单调性

5、.(4)图象法:利用图象研究函数的单调性.双基自测1.设f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为(  ).A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)答案 C2.(2011·湖南)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为(  ).A.[2-,2+]B.(2-,2+)C.[1,3]D.(1,3)解析 函数f(x)的值域是(

6、-1,+∞),要使得f(a)=g(b),必须使得-x2+4x-3>-1.即x2-4x+2<0,解得2-<x<2+.答案 B3.(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数,则满足f1,不等式等价于解得-1

7、x+1)有意义,则2x+1>0,即x>-,而y=log5u为(0,+∞)上的增函数,当x>-时,u=2x+1也为增函数,故原函数的单调增区间是.答案 5.若x>0,则x+的最小值为________.解析 ∵x>0,则x+≥2=2当且仅当x=,即x=时,等号成立,因此x+的最小值为2.答案 2  考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f(x)=的单调性.[审题视点]可采用定义法或导数法判断.解 法一 f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1<x2,都有f(x1)-f(x2)=-=,其中x1

8、-x2<0,x+1>0,x+1>0.①当x1,x2∈(-1,1)时,即

9、x1

10、<1,

11、x2

12、<1,∴

13、x1x2

14、<1,则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)为增函数.②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数.综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.法二 ∵f′(x)=′===,∴由f′(x)>0解得-1<x<1.由f′(x)<

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