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1、《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用§6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标:掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求:弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点:利用导数研究函数的凸性教学难点:利用凸性证明相关命题教学方法:系统讲授法＋演示例题教学过程:引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓
2、函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数在区间上是凸的（向下凸）,任意,（）.曲线上任意两点,之间的图象位于弦的下方,即任意10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用,的值小于或等于弦在点的函数值,弦的方程.对任意有,整理得.令,则有,且,易得,上式可写成.一、凸函数定
3、义以及与连续性的关系(一)凸（凹）函数的定义定义1设函数f为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点、和任意实数总有,则称f为I上的凸函数.反之,如果总有,则称f为I上的凹函数.注易证：若一f为区间I上的凸函数,则f为区间I上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.定义2设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.(二)凸函数的特征引理f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：(3)严格
4、凸函数上式严格不等式成立.10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用证记,则及,由的凸性知 (4) 从而有即 整理即得式.,记,则,由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即,,有 严格凸函数上式严格不等式成立.定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理
5、及其应用．令 ,则,． 显然,上述L与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件． 由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续． 如果f是I上的可导函数,则进一步有：二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有证(i)(ii) ,并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数． (ii)(iii) 由微分中值定理和
6、递增,便可证得10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用当时,也有相同结论．(iii)(i) ,并记,则有,由(iii)可得.注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义． 如果f在I上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（）,.为严格凸1）；2）不在上的任一子区间上恒为零.此定理说明：为严格凸,则曲线中不含有直线
7、段（）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为凸,则凹）.可导函数有如下相互等价的论断：1）为上凹函数.2）,有.即割线斜率递减.10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用3）为上递减函数.4）,有,.当在上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在上.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点
