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1、汤阴一中2009届高三数列综合题名题赏析(文科)整理:王国伟2009年4月1.已知等差数列满足:公差(n=1,2,3,…)①求通项公式;②求证:+++…+.解:∴②∵∴+++…+2.等比数列中,首项>1,公比>0,且,,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求取最大值的值.解:(Ⅰ)(Ⅱ)从而取最大值时,n=8或93.已知函数在(-1,1)上有意义,=-1,且对任意的,∈(-1,1),都有.(1)判断的奇偶性; (2)对数列,(),求;(3)求证:.解:(1)令,则,从而,又令,∈(-1,1),则. 即,故为奇函数. (2)∵. 第16页共16页∴是以-1
2、为首项,以2为公比的等比数列,故=. (3) 4.函数的最小值为且数列的前项和为.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列是等差数列,且,求非零常数;(Ⅲ)若,求数列的最大项.解:(Ⅰ)由,,由题意知:的两根,(Ⅱ),为等差数列,,,经检验时,是等差数列,(Ⅲ)5.已知双曲线的一个焦点为,且,一条渐近线方程为,其中是以4为首项的正数数列.第16页共16页(I)求数列的通项公式;(II)求证:不等式对一切自然数N*)恒成立.解:(I)双曲线方程即为,所以.又由渐近线方程得,于是.∴数列是首项为4,公比为2的等比数列,从而,∴(n≥2).又,也符合
3、上式,所以(n∈N*).(II)令,则,∴,∴.即不等式对一切自然数N*)恒成立.6.已知曲线上有一点列,点在x轴上的射影是,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设四边形的面积是,求证:解:(1)由得∵,∴,故是公比为2的等比数列∴.…………………………………………………………5分(2)∵,∴,而,…………………8分∴四边形的面积为:∴,第16页共16页故.……………………………………………12分7.已知数列的前项和为,又有数列满足关系,对,有,(1)求证:是等比数列,并写出它的通项公式;(2)是否存在常数,使得数列为等比数列?若存在,求出的
4、值;若不存在,说明理由。解:(1)由,又,数列为等比数列,且(2)依题意,存在,使得数列为等比数列。8.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,设求数列的前项和.解:(1)由题意知;当n=1时,当两式相减得()整理得:()∴数列{an}是为首项,2为公比的等比数列.……………………………………(5分)(2)①②①-②得第16页共16页9.已知数列满足。(1)求的通项;(2)设,求的前项和。解:(1),,∴∴当时,,又n=1时2a1=41-1得a1=3/2,∴(2)故是以为首项,为公比的等比数
5、列,∴10.已知数列{}的前项和为,满足关系式(1)当为何值时,数列{}是等比数列;(2)在(1)的条件下,设数列{}的公比为,作数列{}使=1,=(…),求;(3)在(2)条件下,如果对一切∈N+,不等式+<恒成立,求实数的取值范围.10.解:(1)(2+t)Sn+1-tSn=2t+4 ①n≥2时,(2+t)Sn-tSn-1=2t+4 ②两式相减:(2+t)(Sn+1-Sn)-t(Sn-Sn-1)=0,(2+t)an+1-tan=0,=.即n≥2时,为常数.当n=1时,(2+t)S2-tS1=2t+4,(2+t)(a2+a1)-t
6、a1=2t+4,解得a2=.要使{an}是等比数列,必须=.∴=,解得a1=2.(2)由(1)得,f(t)=,因此有bn=,即=+1,整理得+1=2(第16页共16页+1).则数列{+1}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,+1=2·2n-1=2n,bn=.(3)把bn=,bn+1=代入得:+<,即c>+,要使原不等式恒成立,c必须比上式右边的最大值大.∴+=+=++,单调递减.∴+的值随n的增大而减小,则当n=1时,+取得最大值4,因此,实数c的取值范围是c>4.11.已知函数满足且有唯一解。(1)求的表达式;(2)记,且=,求数列的通
7、项公式。(3)记,数列{}的前n项和为,求证解:(1)由即有唯一解又(2)由又数列是以首项为,公差为的等差数列(3)由=12.设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式;第16页共16页(Ⅱ)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,则说明理由.(Ⅲ)求证:.解:(Ⅰ)由题意可得:①时,②……………………1分①─②得,是首项为,公比为的等比数列,………………4分(Ⅱ)解法一:若为等差数列,则成等差数列,………………6分得又时,,显然成等差数列,故存在实数,使得数列成等差数列.………………9分解法
8、二:欲使成等差数列,只须即便可.故存在实数,使得数列成等差数列.………………9分(Ⅲ)第16页共16页又函数在上为增函数,,13.已知二次函数的图像经过坐标原点,其