三角函数同步练习及答案

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1、第四章三角函数一、任意角的三角函数知识网络范例精讲【例1】已知α是第二象限角，试求：（1）角所在的象限；（2）角所在的象限；（3）2α角所在范围.解：（1）∵α是第二象限角，∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即+kπ<<+kπ,k∈Z.故当k=2m(m∈Z)时，+2mπ<<+2mπ,因此，角是第一象限角；当k=2m+1(m∈Z)时，π+2mπ<<π+2mπ,因此，角是第三象限角.综上,可知角是第一或第三象限角.（2）同理可求得+kπ<<+kπ,k∈Z,当k=3m(m∈Z)时，+2mπ<<+2mπ,

2、此时，角是第一象限角；当k=3m+1(m∈Z)时，+2mπ+π<<+2mπ+π,即π+2mπ<<π+2mπ，此时，角是第二象限角；当k=3m+2(m∈Z)时，π+2mπ<<π+2mπ，此时，角是第四象限角.综上，可知角是第一、第二或第四象限角.（3）同理可求得2α角所在范围为π+4kπ<2α<2π+4kπ，k∈Z.评注：（1）注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.（2）要会正确运用不等式进行角的表达，同时

3、会对k取不同值，讨论形如θ=α+kπ(k∈Z)所表示的角所在象限.（3）对于本题第（3）问，不能说2α只是第三、四象限的角，因为2α也可为终边在y轴负半轴上的角π+4kπ(k∈Z)，而此角不属于任何象限.第9页共9页【例2】求证：tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α－cotα+1).证法一:右边=(tan2α+tanα+1)===tan2α+cot2α+1=左边.证法二：左边=tan2α+cot2α+2tanαcotα－1=(tanα+cotα)2－1=(tanα+c

4、otα+1)(tanα+cotα－1)=(tanα+cotα+1)(tanα+cotα－1)tanαcotα=［tanα(tanα+cotα+1)］·［cotα(tanα+cotα－1)］=(tan2α+tanα+1)(cot2α－cotα+1)=右边.评注：证明三角恒等式的过程，实际上是“化异为同”的过程.这一过程往往从化简开始.将不同角化为同角以减少角的数目，将不同名函数化为同名函数以减少函数种类，在三角化简证明中有广泛应用.本题也可利用三角函数的定义证明.【例3】化简:+－.解法一:（定义法）

5、设点P（x，y）是角α终边上一点，且

6、OP

7、=r，则将sinα=，cosα=，tanα=，cotα=代入得原式=+=+==.解法二:（化弦法）原式=+=+=.解法三:（换元法）设cos2α=a，则sin2α=1－a，tan2α=，代入原式，得原式==＋－=+=+==.评注:“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义法、换元法，使三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.【例4】已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax+a=0的两个根（a∈R），第9页共9页（

8、1）求sin3θ+cos3θ的值；（2）求tanθ+cotθ的值.分析:涉及实系数一元二次方程的实根问题，欲求两根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上.此题的解题关键在于借助韦达定理和同角三角函数基本关系式先求出实数a.解:依题意，方程判别式Δ≥0，即（－a）2－4a≥0，解得a≥4或a≤0，且由（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，得a2=1+2a.解得a=1+(舍去)或a=1－，即sinθ+cosθ=sinθcosθ=1－.（1）sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin

9、2θ－sinθcosθ+cos2θ)=(1－)［1－(1－)］=－2.（2）tanθ+cotθ=+===－－1.评注:对a=1+的舍去，既可依据判别式大于等于零的条件考虑，也可根据a=sinθcosθ=sin2θ∈［－，］来确定.对于sinα+cosα、sinα－cosα、sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.试题详解高中同步测控优化训练（一）三角函数(一)（A卷）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共10

10、0分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若角α与角β的终边相同，则角α－β的终边（）A.在x轴的非负半轴上B.在x轴的非正半轴上C.在y轴的非负半轴上D.在y轴的非正半轴上解析：由角α与角β的终边相同，得α=k·360°+β，k∈Z，所以，α－β=k·360°，k∈Z.所以，α－β的终边在x轴的非负半轴上.答案：A2.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.