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1、一个求回归直线方程的简单方法科技信息高校理科研究一个求回归直线方程明简单方法华北电力大学柳燕[摘要]求回归直线方程是统计学中经常用到的一个统计方法,大量的数据处理也可以有一些简单的方法,例如利用常用的数学记号,经过推导与整理,便得到了简洁易用的公式.[关键词]统计分析回归直线方程相关性由于自然界中的许多事物间都包含着某种相互依存的内部规律,这种联系反映到数学上,就是变量间的关系.变量的关系分为两大类:有确定性关系和非确定性关系.数学的任务之一就是从数量上来解释和分析这些关系.回归分析就是一种处理变量与变量间相
2、互关系的数学方法,也是数据处理中最为常用的一种统计方法.它是用数学方法从大量观测数据中找出变量间近似关系的定量表达式,并由此利用这个定量表达式去研究我们所未知的东西.研究两个变量间的相互关系的,称为一元回归分析,在回归分析中,最简单也是最基本的情形是线性回归,而一元线性回归所要找寻的是与变量相匹配的线性回归直线.这里,我们用计算器上的统计键就可以轻而易举地得到这条直线方程.回归的发现源自于19世纪末期对社会统计学的研究.那时,统计学家发现,有许多数据都与正态曲线拟合的很好.但是这无所不在的正态性却给高尔登带来
3、了一个困惑,他发现亲子两代各自的身高数据,都遵从同一的正态分布,但理论上,遗传把一种性态(例如身高)的优势传递给下一代,则应该在后代中出现两极分化,即高个子的后代个子更高,矮个子的后代个子更矮,或者说,高个子与矮个子的比例应该日渐增加,而中等身材的比例应该日渐下降,但事实却是一代代的身高始终呈现出稳定的正态分布.怎么解释这一现象呢?为此,高尔登想出了一个"正态漏斗"试验,现在又称为:高尔登钉板试验.这个实验使高尔登发现了在亲子代间性状的遗传中,性状有向中心回归的现象,也就是说,虽然高个子的后代平均来说要高些,
4、但却不如其亲代那么高,总会向平均身高的方向"回归"一些.这既是回归的含义,也是回归这个概念的出处.接下来的工作是他在分析一些统计学的数据时注意到,若数据都取统计尺度,则可存在着两条斜率相同的回归直线.而其斜率可以作为两组变量的"相关紧度",就是我们现在所说的"相关系数".高尔登利用散点图去估计相关系数,并在图中指示了这些点理论上落在直线上.这条直线就是我们要求的线性回归直线.现在求线性回归直线是一件简单的事,有那么多的统计软件,数据输入计算机,所求的直线也就得到了.这里介绍的是仅凭一个小小的计算器上的统计健,
5、求出回归直线方程的简单方法.设两个随机变量x与Y之间存在着某种相关关系.对于x取定的一组值x,作独立试验,得到Y所对应的一组值Y,,即得到n对观测值x.,Y.),(i=l2-.,n1,又称为一组样本值.利用散点图,可以看出这些点之间大致的位置关系,若近似地呈直线状,那么它们之间可成一线性关系,因为可以想象,这些点散布在一条直线附近.在这些点附近的直线很多,究竟选取哪一条是最佳的呢?这可用最小二乘法解决,即取与观测数据离差的平方和最小的那条直线,这条直线就称为Y与x的回归直线.不妨设Y=a+bX,对应于每个记Y
6、,=a+bx,,则离差的平方和:Q(a,b1=∑(y.一0:∑(y,一bx),l=Iixl于是将求回归直线问题转化为求Q(a,b)的最小值问题.即求使一aQ(a,b):∑2一a-b]【i)(一1):0曲:时的与b—aQ(.a,b)一:22(yi-a-bxi)(一xJ=0OD_=】引入记号:_-I1∑i=l,_=ni=y.,r=12,s2=12(x.一x-)fa+b则上式可整理并变形为'{_a}窆2ibI从而解得:b:,a=7-b~S1这个经过变形整理后的公式,仅含有样本均值和样本方差的形式:i,取s,用计算器
7、上的统计键完全可以轻易地算出.确定了a,b之后,所求的回归直线方程也就有了:Y=a+bX.例如某种水生植物生长的时间与身长间的关系如下生长时间x(天)510203040506090120身长Y(厘米)48l31617l9252946试求它们之间的回归直线.先作散点图,从图中大致可以判断这些点之间的关系呈线性关系.令回归直线方程为:y=a+bx用计算器中的统计键可得出样本均值,y-,及样本方差S,这里,2247.2,7=19.67,_-1344.4,Sl=35.8故一b=Sl1344.4-47.22x19.67
8、:0.324635.8a=y-'-b__19.67—0.3246x47.2=4.35故所求的回归直线方程为:y=4.35+0.3246x.这个过程比一般教科书上给的方法要简便易用,而且也不繁琐,单纯从求回归直线方程而言,应该已经化到了最简.其实数学就是这样,当你很好地利用它的记号时,它有时会给你带来意想不到的简洁与规律.(上接第86页)芯片成本,数据传输的快慢等.3,键盘模块无线式评分器需要由一个界
