芝麻开门谈概率中钥匙开门问题

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1、芝麻开门——谈概率中钥匙开门问题浙江省镇海中学杨威在高中概率这一章的学习中，钥匙开门问题是经常碰到的问题，对于这一问题，尤其是求在钥匙放回或不放回这两种情况下第几次将门打开的概率，学生经常出错，本文对这一问题进行归纳、对比.供大家参考。例1某人有5把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开房门，不幸的是他忘了是那一把，只好随意逐把试开，若每次试过的钥匙不再重复试开.求第3次将房门打开的概率.分析某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件

2、的概率问题．解答第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙。把五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列共有种方法；在5把钥匙的一个排列中的第3把钥匙正好是开房门的钥匙，其它4把不能打开房门的钥匙任意排在第1、2、4、5的位置上.因此第3次打开房门的结果有种.所以恰好第三次将房门打开的概率为.解本题时也可以只考虑前三次的情况，将前三次顺次拿出钥匙的结果相当于从5把钥匙中取出3把钥匙的一个排列，共有种；第三次打开房门即在3把钥匙的排列中第3把恰好是打开房门的钥匙，前面两个位置是从4把不能打开房门的钥匙中取2

3、把钥匙的一个排列，共有种。故说明此题也可以运用条件概率求解.在发生的条件下，发生的概率.故由得：5把钥匙中只有1把能打开房门，且第三次打开房门说明前两次都没有打开房门.第一次打不开的概率为，由于不放回，第二次仍然打不开的概率为，第三次打开的概率为.所以恰好第三次将房门打开的概率为。变1若每次试过的钥匙又放回，求第3次将房门打开的概率。解答每次试过的钥匙又放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.第三次将房门打开说明第三次在5把钥匙中任意取一把且取到的恰好是打开房门的钥匙，于是其概率为。综上，把钥匙的把数推广

4、到则在放回或不放回的条件下，若把钥匙中恰好只有一把可以打开房门的钥匙，那么第次将房门打开的概率都是。变2若每次试过的钥匙又放回，求恰好第3次将房门打开的概率。解答恰好第三次打开房门锁说明前两次都没有打开房门.又每次试过的钥匙放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.恰好取到能打开房门的钥匙的概率为，取不到的概率为.故恰好第3次将房门打开的概率为：。说明变1和变2的区别在于“恰好”两字.有“恰好”，说明前面的次都没有将门打开，恰好在第次将门打开了.也可以把钥匙把数推广到，恰好第次将房门打开的概率例2如果5把钥

5、匙中有2把可以开房门的钥匙，随意逐把试开，且每次试过的钥匙不再重复试开.那么第3次打开房门的概率是多少？解答第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是2把房门钥匙中的一把，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一.（这里只强调第3次取的这把钥匙能开房门，而前面或后面取的钥匙是否能打开房门不去关心），故变1如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙不再重复试开.那么恰好第3次打开房门的概率是多少？解答恰好第3次打开房门，说明前2次都没有打开房门，则在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是

6、二把能开房门的钥匙之一，且另一把必须排在第4或第5把的位置。.变2如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么第3次打开房门的概率是多少？解答每次试过的钥匙放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.又每次恰好取到能打开房门的钥匙的概率为，取不到的概率为.故与例1变1类似，第3次将房门打开的概率为.变3如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么恰好第3次打开房门的概率是多少？解答.综上，设把形状相同的钥匙中有把可以打开房门，每次随意任取一把试开：（1）若每次试开后不放回，

7、则第次打开的概率为或者（2）若每次试开后不放回，则恰好第次打开的概率为或者（3）若每次试开后放回，则第次打开的概率为（4）若每次试开后放回，则恰好第次打开的概率为.评注：在解答概率问题时，题中条件稍有变化，解的方法以及结果就大不一样，因此一定要仔细推敲，严格区分，审清题意。