数学建模之输油管的布置方案

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1、数学建模之输油管的布置方案一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字

2、母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B

3、厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元14，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、模型假设1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。2、不考虑管道的接头处费用。3、忽略铺设过程中的劳动力费用，只考虑管线费用。4、将两炼油厂和车站近似看作三个点。5、将铁路近似看作一条直线。6、不考虑施工之中的意外情况，所有工作均可顺利进行。7、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管线价格，小于两条非公用管线价格之和。8、根据查询资料我们可以为所给出的三个工程咨询公司进行分权，甲级资质分

4、权0.4，乙级资质分权为0.3。9、假设共用管线与非共用管线存在价格差时，共用管线价格大于非共用管线价格低于两倍的非共用管线价格。10、默认A炼油厂距离铁路比B炼油厂近。14三、符号说明W：方案的经费a：A厂到铁路的距离b：B厂到铁路的距离c:A厂到城郊分界线的距离l:A、B两厂之间的铁路长度m：共用管道的费用（万元/千米）n：非共用管道费用（万元/千米）L:为管线总长度h：共用管线的长度x1：车站的横坐标（问题二）y1：城郊分界处拐点的纵坐标（问题二）x2：共用管线和非共用管线交点的横坐标（问题三）y2：城郊分界处拐点的纵坐标（问题三）p

5、：附加费用的估计值。四、问题分析问题一：首先要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同一侧那么一定要考虑共用管线的问题。如果不在铁路的同一侧那么就没有必要考虑共用管线这个问题。当两个工厂在铁路两边时，根据两点之间线段最短的原理14只要求出两厂之间的距离，就可以得到最低费用设计；当两个工厂在铁路的同一侧时，且当没有共用管线时，只需利用光的传播原理可得到最短路径；在考虑到有共用管线时，需建立方程求解最低消费设计方案。问题二：这个问题从市区和郊区分两个部分分析，火车站建立在郊区费用要少；因为郊区非共用管线与共用管线的费用相同，所以可

6、以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以通过方程解出最低费用及对应的铺设线路。问题三：通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表示出管线的长度，然后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的路线。五、模型的建立与求解5.1关于问题1的模型建立与求解对于管线布置的分析，分为两种情况：1、两个炼油厂在铁路两侧，如图所示：CAEDablB两炼油厂A,B直接的连线与铁路的交点E为车站位置此时L=此时为最低费用设计方案。2、两个炼油厂位于铁路的同一侧,则需考虑有无共用管线两种情况：14a.当没有公用管线时，此时找出两

7、厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图：CA’EDablBAa过铁路CD作A点的对称点A’，连接A’B，与铁路相交于点E即为车站所在位置，此时L=此时为最低费用设计方案。b．当存在共用管线时：A、当共用管线与非共用管线价格相同，均为m时：设计方案如图所示ACDBblhEFa2xxYX假设公共管线长度为h；（0＜h＜b）x=a-h（1）L=+h（2）14L=+h（3）W=Lm=m*+m*h（4）当实际情况下已知a，b，l的情况下，上式只存在一个未知数h，再结合h的范围即可得出最低费用的设计方案。B、当共用管线价格为m，非共用管线价格为n；（n＜

8、m＜2n）设计方案如图所示：AaClxhFEbBDW=h*m+n*+n*其中：0＜x＜l；0＜h＜b；实际情况下的费用可以根据已知道的常量a、b、l再结合x、h的取值范围可以得出