1 球杆系统建模分析

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1、《线性系统理论》课程设计报告书课题名称球杆系统姓名孟禹漆铖刘泽文孟凡强杨佐龙日期2013年2月25日老师陈玮1球杆系统建模分析本章将对球杆系统进行简单的介绍，然后采用拉格朗日方程建立其数学模型，并在此基础上分析其特性。1.1球杆系统介绍球杆系统（Ball&Beam）是由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。球杆执行系统（如图1所示）由一根V型轨道和一个不锈钢球组成。V型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得

2、球在轨道上的位置。V型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DCmotor）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。V型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。图1球杆系统执行机构原理图1.2拉格朗日方程介绍建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标一旦确定，体系在空间的位置状态也就可以唯一确定。广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。

3、广义坐标的条件是：互相独立、满足约束方程、唯一确定体系的位形式动力学状态。拉格朗日方程方法建模可以表述为：设一个机械系统的自由度为，对于系统可以采用广义坐标，来描述，记该系统的总体动能为，总体势能为，系统的运动特性可以用以下的拉格朗日方程描述：(1.1)其中，方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，为作用在第个广义坐标方向的外部力或力矩之和。若函数L表示系统动能T与势能V的差值即L=T—V，L称为拉格朗日函数。即：。因势能不是广义速度的函数，所以这样，系统的拉格朗日方程用L表示为：(1.2)显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可

4、求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，因此拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。1.3球杆系统建模过程为了简化和清晰建模过程，可将球杆系统分解为三个部分——球杆机械部分模型，球杆角度转换部分模型和直流电机部分模型。1.3.1球杆系统机械部分建模对于球杆系统中球和横杆的运动方程可以采用拉格朗日方法建模。定义广义坐标(,)，、分别表示小球相对固定轴端的位移和导轨相对水平位置绕固定轴逆时针方向的转角，、分别表示相应的位移速度和角速度。表2.1球杆系统参数小球质量()0.1齿轮半径()0.04小球半径()0.015齿轮转角小球转动惯量()连杆

5、长度()横杆质量()0.4横杆转角横杆长度()作用在横杆上的扭矩（）横杆转动惯量()当然，建立拉氏方程一般分以下四个步骤：1)用广义坐标表示笛卡尔坐标：2)用广义速度表示笛卡尔坐标下的速度：3)4)求出及，按自由度数建立拉格朗日方程组。①求系统动能选取球杆系统的广义坐标为，系统的自由度为2，用广义坐标表示笛卡尔坐标为：，，广义速度之间的关系为：，(1.3)(1.4)小球沿广义坐标方向运动的动能：(1.5)小球绕径向转动的动能为：(1.6)式中表示小球转动的角速度，由小球在横杆上的滚动速度和横杆的转动速度两部分组成，即：(1.7)(1.8)因数值很小，故可做一下近似，故有：(1

6、.9)其中为小球的转动惯量，横杆绕固定端转动时的动能为：(1.10)其中为横杆的转动惯量，故系统总动能：(1.11)②求系统势能小球的势能：(1.12)横杆本身引起的势能为：(1.13)故系统总势能：(1.14)对式1.11做以下处理，得到：(1.15)(1.16)(1.17)对式1.15做以下处理，得到：(1.18)根据式1.2，得到广义坐标下x的拉格朗日方程，即有：(1.19)综合以上式1.14、1.15、1.16、1.17，得出关于广义坐标下x的方程为：(1.20)当系统处于平衡状态时，等于零，在零点附近对系统进行线性化处理，可取，，表示离心加速度，实际中其数值很小，可

7、忽略，于是可得到近似方程：(1.21)对上式进行拉氏变换即可得球杆系统机械部分模型为：(1.22)1.3.2球杆系统角度转换部分模型在球杆的执行机构中，横杆一端固定，大齿轮、连杆与横杆一起组成了一个四连杆结构，齿轮的转动就通过连杆作用到横杆上，从而使横杆绕固定轴转动。齿轮转角和横杆的转角之间的关系可以用下式表示：(1.23)在横杆水平位置附近，齿轮转角在之间，故可以将其近似为一个比例关系：(1.24)1.3.3球杆系统直流电机部分模型球杆系统中的电机由智能驱动器控制，其响应速度相当快且电机转角对电压的响