球杆平衡系统分析

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1、本文以球杆系统为研究对象，用拉格朗H方程建立其数学模型，并用线性系统理论中状态响应，能控性和能观测性，稳定性等方面对系统进行了分析，最后利用状态反馈法设计系统的控制器。无论小球在棒的什么位置，杆的角度如何，该控制方法都能使小球稳定在杆的中心位置。利用mallab通过建模仿真该系统能够达到稳定。一、系统建模由刚性球和连杆臂构成的球杆系统。如图1当小球转动时，球的移动和杆的转动构成复合运动。一般用牛顿力学定律建立系统的运动方程是力的平衡方程，用來分析由多个坐标系描述的运动方程是非常困难的。拉格朗FI动力学方程则是能量的平衡方程，它更适合于分析相互约束下的多个连杆的运动。因此

2、，通过拉氏方程建立球杆的运动方程。拉格朗H方程如下：d(6T、8T-8R6R八.仆〔“、—(——)-—=+“⑴J=1,2,・k(1)dtdq.敗cchdq.为简化建模过程，假设系统阻尼为零，因此空■项为零，式中T为动能，V为势能，R为能量耗散函数，u(t)为作用于系统向量。以下为变量表示的物理意义：m:球的质量，M:杆的质量，g：重力加速度，，R：球的旋转半径，Jh:小球的转动惯量，A：横杆的转动惯量，八横杆的氏度，小球绕轴线旋转的角度。该系统口J看作是二维空间运动的相互约束的两个质点，选取〃和厂作为广义坐标，设刚球在直角坐标系下的位置坐标为（x,y）,则与广义坐标Z间

3、的关系为:[x=rcosdz、（2）[y=rsind所以，其速度关系为｛兀二厂cos0—尸〃sin〃（3）y=7”sin0+/*0cosO系统的动能主要包括小球沿横杆运动的动能，小球绕自身轴线转动的动能和横杆绕固定点转动的动能三部分，分别设为丁訂2兀。小球在厂方向运动的动能人为T}=—m(x2+y2)=—m(r2+r202>)22(4)小球绕轴线旋转的角度R(5)对吋间求导的角速度ra-—R(6)小球绕自身轴线转动的动能(7)其中人=-mR5横杆绕固定点转动的动能(8)其中+。则系统的总动能厂二刁+乙+厶二*”（厂2+厂2°2）+磊,.2+*人伊考虑系统的势能，由丁

4、•能量不因坐标的改变而变化，得到小球的势能:V=mgrcose(10)通过对外力分析，可知在厂方向无外力，在&方向的作用力矩为连杆的驱动力矩-代入(1),建立运动方程。r方向上的运动方程为d何、dTdV八—(—)+—=0dtdrdror(11)其111+=(m+纠”,—=mrO1dtQrdt十drdV=mgsin0。得到:(m+-^)厂+mgsin&-mr3=00方向上的运动方程为(12)(13)d力7*dr其中一(——)=—[(/nr2+丿/)甸=(mr2+J^9+2mrr0dt50dtdT80=mgrcos0do得到：由(12),(14)a(mr+丿/)〃+2mrr

5、0+mgrcos0=t得：(14)r=(广0■一gsin0)R2(15)-一2mrr—m^rcos010=—+Vm广+J,mr2+J(二、系统的线性化对拉格朗日方程建立的系统运动方程来说，通常为非线性的方程，若系统的运动方程可以线性化，那么就可以用线性系统理论来分析平衡点的稳定性，如果在平衡点附近的小偏差范围内，忽略各高次方而得到一个与微小偏差成线性的关系式则称为线性化。如果要研究该系统在平衡点的稳定性，可以采用微小偏移下的线性化方程，但这并不是指在上式的基础上进行线性化，而是应该在动能T的表达式（9）上进行线性化处理。具体来说，对动能T的表达式进行线性化处理，式中mr

6、201的系数皿2是与工作点厂有关，假设是要分析—乙处的稳定性,那么系数就为mr；,故口J列写线性化方程时就认为是常数系数与广义坐标的微小偏差无关，这时拉格朗H的方程屮的有关导数项就厂,0消失了，此时，由式（15）可得厂=—（_gsin0）

7、，第二个则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是/«r24-]｛，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。比较式（15）和式（17）可以看出，线性化过程实际是将式（15）屮的离心加速度厂伊和等变量略去不计，其实这些变量在实际系统中的影响确实是很小的。可见线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。三、状态空间分析3.1状态空间描述根据球杆对彖的线性运动方程式（16）,选取x,=r,x2=r,x3=0,x4=0,则坷代表球在杆上的位置，勺代表球在杆上的线速度，&代表杆的倾斜角度，&代表杆