解三角形的“一点两线”题

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1、解三角形的“一点两线”题　　一、一顶点两中线　　例1已知△ABC的顶点A的坐标为（-4，2），两条中线所在直线的方程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0，求直线BC的方程.　　分析解此题的关键是求出点B和点C的坐标.要求点B的坐标，需要建立两个方程，一是利用点B在边AC的中线上建立一个方程，二是利用A，B两点的坐标表示出边AB的中点D的坐标，再利用点D在中线CD上建立另一个方程，然后解方程组即可.同理可以求得点C的坐标.　　解因为点A不在两条中线所在的直线上，所以两条中线分别是边AB和边AC上

2、的中线.不妨设点D为边AB的中点，点E为边AC的中点，中线CD所在直线的方程为3x-2y+2=0，中线BE所在直线的方程为3x+5y-12=0.　　同理可求得点C的坐标为（2，4）.所以kBC=-2.　　故直线BC的方程为2x+y-8=0.　　二、一点一高一中线　　例2已知△ABC的顶点A的坐标为（0，1），边AB上的高所在直线的方程为x+2y-4=0，边AC上的中线所在直线的方程为2x+y-3=0，求边BC所在直线的方程.　　分析设出点C的坐标，边AC上的中点E的坐标可用点C的坐标表示.利用点E在直线

3、2x+y-3=0上，点C在直线x+2y-4=0上，两方程联立成方程组即可求出点C的坐标，进而可以求出直线AC的方程.求出直线AB的方程，再由直线AB的方程与方程2x+y-3=0联立，求出点B的坐标，问题得到解决.　　解设边AC的中点为E，则直线BE的方程为2x+y-3=0.　　设边AB上的高为CD，点D在边AB上，则直线CD的方程为x+2y-4=0.　　又直线AB的斜率为k=2，则直线AB的方程为y=2x+1.　　三、一点两高　　例3已知△ABC的两条高所在直线的方程为2x-3y+1=0和x+y=0，顶

4、点A的坐标为（1，2），求边BC所在直线的方程.　　分析不妨先求点B的坐标，同理可求点C的坐标.经检验，两条高都不过点A，所以，所给的高分别是边AB和边AC上的高.利用两条有斜率的直线垂直的充要条件易求出边AB和边AC的方程，然后分别解方程组即可求解.　　解因为直线2x-3y+1=0和直线x+y=0都不过点A，所以，所给直线的方程分别是边AB和边AC上的高所在直线的方程.　　由y-2=x-1，2x-3y+1=0，解得x=-2，y=-1，所以点C的坐标为（-2，-1）.　　四、一点两角平分线　　例4已知△

5、ABC的顶点A的坐标为（3，-1），∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为x=0，y=x，求直线BC的方程.　　分析由点关于直线的对称性，可知顶点A（3，-1）关于∠B，∠C的平分线的对称点A1，A2都在直线BC上，所以只要把点A1，A2的坐标求出，问题即可得解.　　解因为顶点A关于∠B的平分线的对称点A1（-3，-1）在直线BC上，顶点A关于∠C的平分线的对称点A2（-1，3）也在直线BC上，所以直线BC的方程为y-3=2（x+1），即2x-y+5=0.　　五、一点一高一角平分线　　例5已知△ABC的

6、顶点A的坐标为（1，2），边AB上的高所在直线的方程为x+2y-4=0，∠B的平分线所在直线的方程为x+y=0，求边BC所在直线的方程.　　分析点A关于直线x+y=0的对称点A1（-2，-1）在直线BC上，而点B的坐标可由直线AB的方程与∠B的平分线所在直线的方程联立求得.　　解直线AB的方程为y-2=2（x-1），由y=2x，x+y=0，得x=0，y=0，即点B的坐标为（0，0）.　　因为点A关于直线x+y=0的对称点A1（-2，-1）在直线BC上，所以由直线的两点式方程可得边BC所在直线的方程为x-

7、2y=0.　　六、一点一中线一角平分线　　例6已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），边AB上的中线所在直线的方程为x+2y-4=0，∠B的平分线所在直线的方程为x+y=0，求边BC所在直线的方程.　　分析先设点B的坐标为（m，-m），可表示出边AB的中点E的坐标，将点E的坐标代入中线方程中，可得点B的坐标.点A关于直线x+y=0的对称点A1（-2，-1）在直线BC上，即可求解.　　点A关于直线x+y=0的对称点A1（-2，-1）在直线BC上，由直线的两点式方程可得边BC所在直线的方程为4x+y+9=0

8、.（责任编冯琪）