北大《量子力学》chpt7

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1、第七章自旋第七章目录§7.1电子自旋存在的实验事实328（1）Stern-Gerlach实验（1922年）3（2）电子自旋存在的其他证据4§7.2自旋－微观客体的一个动力学变量5（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示5（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述9（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程13§7.3碱金属的双线结构14（1）总角动量14（2）碱金属的双线结构19§7.4两自旋为1/2的粒子的自旋波函数20(1)表象中两自旋为的粒子的自旋波函数20(2)表象中两自旋为的粒子的自旋波函数2

2、0(3)Bell基22§7.5Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell不等式22(1)Einstein-Podolsky-Rosen佯谬22(2)BellInqualities23§7.6全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性27(1)交换不变性27(2)全同粒子的波函数结构，泡利原理29(3)全同粒子的交换不变性的后果32第七章自旋在较强的磁场下（∽），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。但是，当这些原子或离子置入

3、弱磁场（∽）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度来描述并不是完全的。我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。§7.1电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上，磁场在方向上有梯度，即不

4、均匀，则受力从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值—28所以原子分裂成一个带。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也

5、是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A．碱金属光谱的双线结构钠原子光谱中有一谱线，波长为5893Å，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。ÅÅ这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。B．反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定

6、为，而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为(称因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以以为单位，则（而）自旋的回磁比为现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正§7.2自旋－微观客体的一个动力学变量既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取，还应有第四个变量，相应算符为。（1）电子的自旋

7、算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩28所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，）。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来表征它。于是我们假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系。A.对易关系B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值,，所以于是是一常数C.矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以可用矩阵表示。1．若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就

8、是它的本征值相应的本征矢其对应的表示为，2．在表象中的矩阵表示我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得由因此28由即同理可得得系数矩阵为转置得而系数矩阵为转置得对于在方向有28则本征矢③PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符于是，在表象中有（或称Pauli表象），，称为泡利矩阵。的本征值为。，由此得于是有∴为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进一步认识，我们举一些例子。例1．求的本征值，本征矢因已知在表象中矩阵形式为矩阵形式的本征方程