湖北大学量子力学考研参考精彩试题及解.doc

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1、量子力学考研参考试题（一）一.（见1997年第二题）证明：（1）若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；（2）在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性为最小。证明：（1）设算符与角动量算符及皆对易，即则同理可知，若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。（2）在与的共同本征态下，与的平均值为由升降算符的修正可知于是有同理可证，算符在下的平均值也未零。在态上，同理可得故有或者写为显然，当时，上式取最

2、小值二.（见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为时，能级是，如果总能量算符变成（为实参数），求粒子能级的严格解。解：视为参变量，则有利用费曼-海尔曼定理可知又知在任何束缚态下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用时，，定出积分常数最后，得到的本征值为三.一维谐振子的哈密顿算符为引入无量纲算符，；；；（1）计算，，，；（2）将用与表示，并求出全部能级。解：（1）计算对易关系（2）改写哈密顿算符而所以，有下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。对任何态矢，均有因此，若

3、是哈密顿算符的本征态，则，即上式说明能量的下限为。用作用的任意一个本征态上，利用可知若，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为。重复这个推理的过程，得到都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于，此数列必须终止于某个最小值，即不再是能量本征值，其条件为因此，于是可知相应当能量本征值类似前面的做法，利用可知说明也是能量的本征态，相应的能量本征值为，重复此过程可知，都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表达式为四.有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场的作用，磁场指向轴电正

4、方向，磁作用为。设时，电子的自旋向上，即，求时的平均值。解：哈密顿算符可以改写为其中，在泡利表象中，设时体系的波函数为则其应满足于是有此即，上式可以化为解之得到利用初始条件；可知于是，时的波函数为而五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量描述，其中，可视为微扰，是厄米特算符，且有。（1）若算符在的非简并基态上的平均值已知，且分别记为，求在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到量级。（1）将上述结果用在如下三维问题上，计算在微扰后非简并基态上的平均值，准确到量级。解：（1）设满足则哈密顿算符

5、的基态波函数的一级近似为利用归一化条件若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。在微扰后的基态的一级近似之下计算的平均值，得到再利用，并略去的二次项，（2）取使得当时，同理可知，当取时，