湖北大学量子力学考研参考试题及解3

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1、量子力学考研参考试题（三）一•设”〉是粒子数算符N=a^a的本征函数，相应之本征值为-°）,算符和Q满足对易关系a-aa=1。证明：a也是用的本征函数其相应的本征值分别为（“T）和（〃+1）。aaarij-an^-解：用粒子数算符用作用到“I"〉上，即也”2）=a+daj^=（ad+-ljan）=dNn）-硼）=（〃-1）句〃）上式表明。“〉是用的木征态，相应的木征值为（〃一1）。八八+同样，用粒子数算符N作卅到°Na+^=八+八八+aaan入+△+/八+

2、八+八1I入+八+八八+=aaa+l)=aaan)+an)=八+aN0一斜0=(n+l

3、)a+“〉也是M的木征态，柑应的木征值为（"+1）。x<0Qa中运动（%>°）,此势阱的宽度Q。E=若已知该粒子在此势阱中有一个能量2的状态，试确定八+a上式表明二.（类似2000年第二题）质量为m的粒子在一维势阱00.吩)aVE=-b<0解：对于2的情况，三个区域中的波函数分别为0i⑴=0v肖2（兀）=sinkx屮3（x）=Bexp（-ax）其中,」2m(E+VJ.J2ma-hh得到于是有Asinka-Bexp(-aa)Akcoska=-Baexp{-aa)此即能最满足的超越方程。Tu由于x=d处，利用波函数及其一阶导数连续的条件02（d）=%3（d）

4、02（。）=03（。）(mV。tan占—=-1mV()V,,£v0兀n=1,2,3,•…a-n7iti4,7ih<］、n最后，得到势阱的宽度4J7mVo三.（类似习题选讲5・7）设作一维自由运得粒子》=°时处于況x，0）=A（sin2&+cos£x）态上，求'=°和t>0时粒子动量与动能的平均值。解：山于动量算符与动能算符対易，它们有共同本征函数©,（%）=J_exp（iZ:%）F=°时的波函数況x，0)=A(sin2也+coskx)=A

5、exp(i2kx)+2-exp(-i2kxj}=彳殛Q(pkW+2JW-他W+mW-化2k&)}归一化常数为4A=动量的取值几率为W(p=±2肋)=右W(p=+kh)=“动量的平均值为p=YjPW(p)=0动能的平均值为4k2h27m因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取值儿率和平均值不随时间改变，（＞°时的结果与》=0时完全一样。四.（见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态"血⑺,利用维里定理、]_费曼•海尔曼定理计算r与r2o解：己知类红离子的能最本征值为F-F-_-""%lm-22nn-nr+1+1h2总能量所以，得

6、到T=-^V2£=T+V=丄心=S1“2(3)1=2&=ZrZe1n2a(}n=1,2,3,…(4)类氢离子的哈密顿算符为八JH~~2^7~d^+(5)沪1a2z（z+i）//2z&将/视为参数，利用费曼■海尔曼定理,得到dHIh21dldlk2丿7“厂(6)由于，n=nr+/+1(7)所以，8E,—6En_z2^2dldn/I36ZO(8)（6）式，冇将英代入Z2五.(类似1996(/+l/2)n3a02(9)年第四题）设两个自旋为2粒子构成的体系，—►—►C为常数，'1与*2分别是粒子1和粒子2的自旋算符。2的自旋沿Z轴的正方向，求/\八H=C^i・s2已知'

7、=°时，粒子1的自旋沿Z轴的负方向，粒子f>°时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为其中,哈密顿量八入、CH=Cs{-s2=-s~-s~-选择耦合表彖，由于S=°」,故四个基底为在此基底之卜，哈密顿算符是对角矩阵，即(°—3丿可以肓接写岀它的解为4,亠4E2血HitHT己知'=°吋，体系处于+一+-++-〉十+〉］呎0》=因为哈密顿算符不显含时间，故f7Q/〉°时刻的波两数为日+-〉+池）〉=疋■--E3

8、

9、10)-exp--E4100)lr+-—Cht4)粒子1处于Z轴负方向的几率为expexp■1、<3i亠~1—Cht+expJLCh

10、t4丿<4丿」/、/-、—:—1Cht+exp-Cht2丿J2)

11、•，打=

12、〈一一

13、0（训2+

14、〈一+"（"〉如受到六.粒子在一维势场V（x）中运动，非简并能级为=1,2,3,…）,W=~PX微扰“的作用，求能量到一级修正，并与精确解比较。解：已知丹（）满足的本征方程为Hon）=E：n）rtihp可知第比个能级的一级修匸为=Wkk=-Pkk=0A能量的二级修正为FQ)=y“町W磁_k卩()_fonHk匚k~nnk，匸侖（E>E）鑑⑹弋以匕E；-£；；-TrZ（e：-Ek}Xnk矗n^k利用n^k得到若令则哈密顿算符可以改写为故精确解为片上+2“22⑵—八2一