数学科普读物：算得巧

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1、写在前面的话数学是锻炼脑盘的体操。无论计算，还是解题，都要力争根据具体情竞选用简便算法或解法，有目的地培养学生思维的敏捷性和灵活性。不少人都有这个体验：获得最优美、最巧妙的解法是一种愉快的享受。算得巧与算得笨不仅仅是方法的不同，更重要的是思维方式的不同。巧算，属于求异思维。它往往具有独特、新颖、简捷的特点。本书面向小学中、高年级，从数的概念、数的计算、应用题、几何初步知识几个方面，比较系统地总结了巧算的方法、算理和技巧。本书在写作过程中，注意了以下出点。1.要求新。所谓新，就是别的书上没有讲过或没有集中讲过的新发现、新经验、新的归纳总结。2.不求全。全是相对的，没有必要把勉强

2、叫巧算的内容加上去。累此，各知识点的分配是不平衡的。本书的目的是抛砖引玉，让同学们由此受到启发，做好积累、整理工作。3.讲实用。对于那些与其记一大堆法则，还不如再算一遍的巧算，我们一律不选。有些巧算的法则好记又实用，尽管不少人都知道，我们还是选了。4.有难度。在几百个例题中，有的题是比较难的。我们的目的是让那些学有余力的同学，能在课余时间有更多的机会锻炼自己的脑筋，提高解题能力。5.重方法。本书在介绍计算方法时，由于按先讲整数计算，再讲分数计算；这两部分又按加、减、乘、除的顺序编写，所以，例题的题型选择不全，重在讲方法。6.不重复。本书内容既配合课本，又不重复课本。课堂上讲的

3、内容，这里不再重复。比如，“巧用运算规律”，因为课堂内已经讲过，这里只重点介绍了一些典型问题。本书在写作过程中，常舒正老师审阅了大部分书稿，眭双祥老师提供了有益的资料并补写了某些内容。在此，谨向他们表示衷心的感谢。作者算得巧巧答概念题约数的对称关系很多同学在求某个合数的约数时，往往找不全。这里，向同学们介绍一种巧用对称关系找约数的方法。如果把任何一个合数的约数，从小到大排列成一串数，那么我们会发现，这些数总是关于某个处于中心位置的数成对存在。为了便于叙述，我们把这个中心位置的数叫做“中心数”如果某个合数恰好是某个自然数的平方，那么这个“中心

4、数”就是这个自然数，它自然是这个合数的约数，只要把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数便能一个不漏地迅速找出来。比如，要求36的约数，36=62，在36的约数里，比6小的4个约数为1、2、3、4，加外4个约数为36、18、12、9。如下图：如果这个合数不是某个自然数的平方，那么就要找出一个近似的“中心数”。比如，要求102的约数。因为102<102<112，所以可以选10或11为“中心数”。先找出比10或11小的4个约数1、2、3、6，再找出另外4个约数102、51、34、17。如下图：由此可知，一个合数的“中心数”可能是这个合数的约数，也可能不是。试一试试求64、14

5、4、60、108的所有约数。巧用筛去法判别判断某个数能否被3整除，这是大家熟悉的问题。可是，当一个数较大时，把一个数各数位上的数字相加，不仅判断速度慢，而且很容易出现口算错误。下面介绍一种简便判断方法——筛去法（或称消倍法）。这种方法就如同用一种特殊的筛子，先把某个数的各个数位是3的倍数的数筛去，然后把剩余的有限几个数字相加，看它们的和是否是3的倍数。如果剩下的数字之和是3的倍数，那么原数就是3的倍数。比如，判断下面的数能否被3整除：(1)5367；(2)31692；(3)43156。(1)5367，直接筛去能被3整除的3、6；5与7的和是

6、3的倍数，所以5367能被3整除。(2)31692，直接筛去能被3整除的3、6、9；1与2的和是3的倍数，所以31692能被3整除。(3)43156，直接筛去能被3整除的3、6；4、1与5的和不是3的倍数，所以43156不能被3整除。试一试判断下面的数能否被3整除：(1)3486(2)2947(3)56793(4)78541巧妙判定被7约一个数能否被7整除，只要把这个数的末位数字截去，然后从余下的数中减去这个末位数字的2倍，如果这时能一眼看出这个得数是7的倍数，那么这个数就能被7整除，否则就不能被7整除。要是仍看不出是否能被7整除，那就要继

7、续上述的过程，直到能清楚地作出判断为止。比如，判断112能否被7整除。因为7能被7整除，所以112能被7整除。这是由于112×2=（11×10+2）×2=11×20+2×2=11×（21－1）+2×2=11×21－11+2×2=11×7×3－（11－2×2）前项有约数7，且7与2互质，故只要检验（11－2×2）能否被7整除就可以了。如果所要判定的数，位数比较多，那么这种做法可以一直进行下去。又如，判断61572能否被7整除。因为42能被7整除，所以61572能被7整除