高等数学a(上) 主要内容

《高等数学a(上) 主要内容》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等数学A（上）的主要内容一、极限⒈求极限的类型和方法⑴利用极限四则运算法则和复合函数极限运算法则求极限；⑵利用无穷小与无穷大的关系求极限；⑶利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小求极限；⑷利用等价无穷小代换求极限；⑸利用两个重要极限求极限；⑹利用极限与单侧极限的关系求极限；⑺利用夹逼准则求极限；⑻利用单调有界准则证明数列极限存在；⑼利用初等函数的连续性求极限；⑽利用洛必达法则求极限；⑾利用导数定义和定积分定义求极限；⑿利用微分中值定理（包括泰勒公式）和积分中值定理求极限。⒉变相求极限的类型⑴无穷小的比较。高阶无穷小，低

2、价无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等。⑵求渐近线。水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线；并注意单侧渐近线。⑶判断间断点的类型。第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。⑷判断函数在点处的可导性。特别是分段函数在分点处的可导性。⑸判断反常积分的敛散性。包括无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。⒊极限与连续性，可导性，可积性，反常积分敛散性的关系①连续性：。②可导性：。③可积性：。④反常积分敛散性：定积分+极限，如。二、连续性⒈连续函数的基本性质⑴连续函数的四则运算法则。⑵连续函数的复合运算法则。⑶连续函数的反函

3、数运算法则。⑷初等函数在其定义区间内均连续。8⒉有限闭区间上的连续函数的性质⑴最值定理。结合导数的应用，会求最值。⑵有界定理。⑶介值定理。经常在证明题中运用，注意和最值定理及积分中值定理结合使用。⑷零点定理。经常用于判断方程的根问题。⒊判断方程的根⑴惟一根的判断：存在性（零点定理和罗尔定理）和唯一性（单调性与反证法）。⑵含参数的方程根讨论：与函数作图相结合。⒋连续性与极限、可导、可积的关系⑴在点处可导在点处连续存在。⑵在上连续在上可积。⑶若在上可积在上连续；若在上连续在上可导，且。⒌分段函数在分点处的连续性：左连续且右

4、连续。⒍间断点及其分类⑴第一类间断点和第二类间断点。⑵初等函数的间断点往往产生于定义域之外的点处。三、导数与微分⒈求导运算⑴导数的定义。⑵求导基本公式。⑶运用求导四则运算法则：。特别地，。⑷复合函数求导法则：。⑸反函数求导法则：，。⑹隐函数求导两种方法（一阶导数、二阶导数）。对数求导法或换底求导法：8（适用于幂指函数）。⑺参变量函数求导法则：：，。⑻不定积分的导数：。⑼变限函数求导：。特别地，当被积函数中含有变量时，通常运用拆分或换元方法，先将被积函数变换为不再含有变量后，方可求导。⑽高阶导数。掌握高阶导数运算法则和常

5、见函数的高阶导数公式，并会将函数变形。⑾分段函数在分点处的求导方法：①：利用导数定义。②：利用单侧导数。注意：分点处的可导性一定要单独讨论。不可简单地认为或⑿微分①微分的概念。如果（），微分，其中，。②对于一元函数而言，可导可微。③微分法则：；；。④微分形式不变性：：（不论是自变量还是函数均成立）。⒉导函数的奇偶性和周期性⑴如果为奇函数（偶函数），则为偶函数（奇函数）。⑵如果是以为周期的函数，则仍是以为周期的函数。⒊单调性与极值⑴利用导数的符号判断单调性。⑵了解极值的必要条件。进而知驻点和不可导点为可能的极值点，需进一

6、步判断。8⑶会利用极值的两个充分条件求极值。⒋凹凸性与拐点⑴利用二阶导数的符号判断凹凸性。⑵了解凹凸曲线与其弦、切线的位置关系；以及导函数的单调性。⑶二阶导数为零的点和不可导点处为可能产生拐点。会用两侧二阶导数的符号判断该点是否为拐点。⑷如果，，则为的拐点．⒌微分中值定理及中值等式证明⑴罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒公式。⑵掌握中和的变化，令，并对其运用罗尔中值定理。⑶一般情况下，由联想到拉格朗日中值定理。⑷出现高阶导数时，联想到泰勒公式。⒍不等式证明⑴单调性。关注有等号与不含等号的区别。⑵凹凸性。

7、关注凹凸性的几种几何特征，如弦、切线等的位置关系。⑶中值定理。常用拉格朗日中值定理和泰勒公式。⑷最值方法。当不等式右端为常数时，较为常用。⒎函数恒等式证明⑴令左-右；⑵验证，从而；⑶取某点，计算得，故，所以，即得证。⒏会求最大值和最小值⑴有限闭区间上的连续函数的最大值和最小值。⑵无穷区间上的连续函数的最大值和最小值。四、不定积分与定积分⒈不定积分与原函数的关系⑴如果连续，则为的一个原函数。⑵如果为的一个原函数，即，则有。⒉不定积分与导数或微分的关系，或；8，或。⒊不定积分的求法⑴利用不定积分的性质求不定积分。⑵利用不定

8、积分的基本公式求不定积分。⑶利用不定积分的换元法求不定积分。注意两部分变化。⑷利用不定积分的分部积分法求不定积分。⑸熟练掌握三个特殊类型积分：①有理函数积分。方法：将被积函数分解或拆分后，再逐项积分。②三角有理式积分。方法：利用三角函数变形直接计算，或通过变换（含万能公式）化为有理函数积分计算。③简单的无理根式积分。方法：直接计算