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《高数宝典之集体编撰第七章 微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节微分方程的基本概念1微分方程的定义（见书P295）表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程就叫微分方程，也叫方程，其中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。对于n阶微分方程F(x,y,y',…,y(n))=0⑴只有y(n)必须出现。若y(n)可以解出，则微分方程也可写为y(n)=f(x,y,y',…,y(n-1))2.微分方程的解和通解（见书P296）若函数y=φ(x)在区间I上有n阶连续导数，且在区间I上有F[x,φ(x),φ'(x),…,φ(n)(x)]≡0则y=φ(x)叫微分方程⑴在区间I上的解；若φ(x)中含有n个不可合并任意常数，则φ(x)叫微分方程的
2、通解。3.初始条件，微分方程的特解和初值问题（见书P297）初始条件：根据问题实际情况或人为提出的确定函数通解的条件。n阶微分方程初始条件一般为：其中y0,y0',…,y0(n-1)为定值。4.微分方程的积分曲线（见书P297）微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题的几何意义就是求微分方程的通过点（x0，y0）且在该点处的切线斜率为y0'的那条积分曲线。5.本节需掌握导数的两种表示方法。例题：验证：函数x=C1coskt+C2sinkt(i)是微分方程(ii)的解，并求满足初始条件的特解。解：对（i）式求导=-kC1sinkt+kC2coskt(iii)=-k
3、2(C1coskt+C2sinkt)则+k2x=-k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)=0所以原命题得证。将代入(iii)式得C2=0.再将代入(i)式，有C1=A.所以所求特解为x=Acoskt.第二节可分离变量的微分方程本节至第四节，讨论的都是一阶微分方程y'=f(x,y)的一些解法1.可分离变量的微分方程（运用分离变量法解）（见书P300）如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx(2)的形式，也就是说能把含有x的项与含y的项分离，则称该方程为可分离变量的微分方程。2.隐式解和隐式通解（见书P300）设G'(y)=g(y),F
4、(x)=f(x).则方程G(x)=F(x)+C(3)用隐式（不是y=φ(x)+C的形式）给出了方程（2）的解，叫做（2）的隐式解。又(3)中含有任意常数，所以（3）又叫微分方程（2）的隐式通解。注意点：1.积分后的式子中要有常数C。2.对形如=f(x)g(x)的方程，通过分离变量法得到会漏掉g(y)=0的解，应及时补全。例题：求微分方程的通解。解：将方程分离变量得，两端积分，得ln
5、y
6、=x2+C1,推出.因为是任意非零常数，有y0也是方程的解；故方程的通解学习方法（续）：1.在理解的基础上背公式，可能的话自己推导一遍，会容易记住。2.勤动手，重视做错的题。3.训练观察能力，形成自己
7、的数学思维习惯。第三节齐次方程学习目的：掌握齐次方程的求通解方法；掌握其他非齐次变换为齐次方程，进一步求解。学习重点：变换的灵活应用。本质：最后均化为可分离变量方程。一、齐次方程若一阶微分方程可化为（1）则为齐次方程。具体解法：再分离变量，求积分，u还原为，即得通解。二、可化为齐次的方程⒈形如（2）①时上下同除化为（1）式。②时为将其化为①形式，则有得出解出方程为，形如①，得出通解后令即可。③时，令为可分离变量的方程，将代回得最终通解。⒉形如，设可分离变量，将代回，得最终通解。经典例题ⅰ.求的通解.解析：ⅱ.求出的通解.解析：小结：本质还是将变量代换，将变为的式子，与构造可分离变量方
8、程，再求通解。第四节一阶线性微分方程一．主要内容1.线性方程方程dy／dx＋P﹙x﹚y=Q﹙x﹚﹙1﹚叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q﹙x﹚≡0，则方程﹙1﹚称为齐次的；如果Q﹙x﹚0，则方程﹙1﹚称为非齐次的。设方程﹙1﹚为非齐次线性方程，为求出它的解，我们先把Q﹙x﹚换成零而写出方程Dy∕dx＋P﹙x﹚y=0﹙2﹚该方程是可分离变量的，求得y=C·e﹣∫P﹙x﹚dx，这就是齐次线性方程﹙2﹚的通解。现在我们使用所谓的“常数变易法”来求解非齐次线性方程﹙1﹚的通解。这方法是把﹙2﹚中通解C换成x的未知函数u﹙x﹚，即y=u·e﹣∫P﹙x﹚dx或u
9、=y·e∫P﹙x﹚dxⅰ﹚解法见课本P311ⅱ﹚也可用凑微分的方法求解︰对方程﹙1﹚两边同乘e∫P﹙x﹚dx，得dy∕dx·e∫P﹙x﹚dx＋P﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx·y=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx注意到﹙y·e∫P﹙x﹚dx﹚ˊ=dy∕dx·e∫P﹙x﹚dx＋P﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx·y则﹙y·e∫P﹙x﹚dx﹚ˊ=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx，即uˊ=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx两边同时积分得u﹙x﹚=∫Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚ddxx＋C得非齐次线性方
