莫顿期权定价模型

《莫顿期权定价模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、11.0第十一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。1Copyright©ZhengZhenlong&ChenRo

2、ng,2008布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路11.1我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。2Copyright©ZhengZhenlong

3、&ChenRong,2008布朗运动11.2.1布朗运动（BrownianMotion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。标准布朗运动两大特征：特征1(正态分布)特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。(独立增量）3Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008维纳过程的性质[z(T)–z(0)]也是正态分布均值等于0方差等于T标准差等于方差可加性为何使用布朗运动？正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布数学上可以证明，具备特征1和特征

4、2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（QuadraticVariation）不为零的性质，与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,20085市场有效理论与随机过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效

5、率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。有效市场三个层次6Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗运动11.2.1标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，：or:x(t)=x0+at+bz(t)遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程：adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a；bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音，使

6、变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。7Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗运动11.2.1普通布朗运动的离差形式为，显然，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。8Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤过程与伊藤引理11.3普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移

7、率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到这就是伊藤过程（ItoProcess）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。9Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤过程与伊藤引理11.3在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。10Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008泰勒

8、展开式忽略比Dt高阶的项在常微分中，我们得到在随机微分中我们得到：因为最后一项的阶数为Dt将Dx代入e2Dt取极限伊藤引理的运用如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理可以推导出G(x,t)遵循的随机过程。由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此随机过程在衍生产品分