正弦定理、余弦定理综合练习题

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1、正弦定理、余弦定理习题课知识点：1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：①，，；②，，；③；④．3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；②若，则；③若，则．例1、（09北京）在中，角的对边分别为，.w.w.w.k.s.5.u.c.o.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△

2、ABC的面积例2、（08辽宁）在中，内角A，B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.(Ⅰ)若的面积等于，求a,b；(Ⅱ)若，求的面积.解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．4分联立方程组解得，．6分（Ⅱ）由题意得，即，8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．12分例3、（09浙江）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=,=3.（Ⅰ）求的面积；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若b+c=6,求a的值。解析：（I）因为，，又由，得，w.w.w

3、.k.s.5.u.c.o.m（II）对于，又，或，由余弦定理得，w.例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，在△ADB中，cosADB＝＝在△ADC中，cosADC＝＝又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB

4、＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.∴＝－解得，x＝2所以，BC边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.