一种阻尼振动规律的研究

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1、一种阻尼振动规律的研究姜付锦(武汉市黄陂区第一中学湖北武汉430030)<<物理通报>>2011年第12期<<粗糙水平面上弹簧振子运动的研究>>[1]一文，对在粗糙水平面上的弹簧振子的运动规律进行了定性和半定量的研究，但是没有给出振子的振动图象，不够系统和完整；2011年第10期《从一道题的错解说弹簧振子》[2]一文，对这个模型的图象进行了定性和半定量研究，分析方法科学有效；同一期的《对一道双平衡位置振动问题的讨论》[3]一文，从这个模型的“双平衡位置”的角度出发展开了研究，并得到了图象和部分运动规律。笔者受到以上三篇文章中思想的启发，借助

2、MathCAD对这个问题也进行了分析研究，得到了和以上三篇文章中相同的结果并进行了有效补充，以下是分析过程，文中若有不当之处还请各位物理同仁批评指正。1．题目图1如图1所示，将一根劲度系数为的弹簧与一质量为的物块相连，置于粗糙的水平面上，已知物块与水平面的滑动摩擦力大小为，弹簧处于原长时，物块位于点。用力向左缓慢推物块从点至点，且使，之后撤去外力，物块将在水平面上来回运动，试分析物块的运动规律。1．1建立模型图2如图2所示，物块在运动过程中会受到重力、地面的支持力、弹簧的弹力和地面的滑动摩擦力作用，其中重力和支持力是一对平衡力。弹簧弹力与摩

3、擦力是两个变力。的大小方向与弹簧的形变有关，的大小一定，方向与振子的运动方向相反，若将等效为重力则弹簧振子在振动过程中有两个平衡位置（即文[1][2][3]中所指的“双平衡位置”）。若以点为坐标原点向右为正方向，建立坐标轴，设在某一时刻物块位于点，偏离原点的位移为，则物块运动微分动力学方程如下：说明：上式中是表示摩擦力方向与物块运动的方向相反，当为正时则为负；当为负时则为正。1．2用MathCAD解微分动力学方程为了研究问题的方便，不妨令，则上式可整理为1．1图形分析上图中图3为弹簧振子振动图象，图4为弹簧振子振动速度图，图5为弹簧振子速度

4、与位移图，图6为弹簧振子机械能图，它们与文[2][3]中的图一致。若按文[1]中的例子，则有由上图可知当振子振动3/2个周期后停下来，与文[1]中的分析一致。1．1弹簧振子的周期文[1]中指出这个模型中弹簧振子的周期为，式中是物块的等效质量。笔者认为这是错误的，因为弹簧振子的固有周期只与弹簧振子本身有关（质量和劲度），周期应为[4]。也就是不论弹簧振子是自由振动，还是阻尼振动；不论它所在参考系是惯性参考系还是非惯性参考系；不论它在地球的什么位置，弹簧振子的周期都是相同的。从图3中可以看出振子的周期约为。设代入公式得，与图3中的值相同。1．5

5、弹簧振子振动规律的解析解由上图3可以看出，振子的周期不变振幅随时间均匀减小，每经过半个周期振子的振幅（相对于点）减小[1]，猜想振动方程为。若令，则有与前面的图3、图4、图5相同，即振动方程为1结语通过以上的分析不难发现，文中的阻尼振动的规律与所受的摩擦力的方向有密切联系，因为它每半个周期改变一次方向，所以振幅（相对于O点）每半个周期减小。实际上振子的振幅不可能是一直减小到零，当在某一位置振子速度为零且弹簧的弹力不大于最大静摩擦力时，它就会停下来不动，这也与文[1][2][3]中所描述的内容相同。参考文献1王兴堂．粗糙水平面上弹簧振子运动的

6、研究物理通报，2011（12）：90~912冯德强黄雄从一道题的错解说弹簧振子物理通报，2011（10）：89~913陆天明对一道双平衡位置振动问题的讨论物理通报，2011（10）：92~934姜付锦此题还有一解——对《正确使用平均值》一文的补充物理通报，2011（7）：94，98