14年高考真题——理科数学(湖南卷)

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1、2014年高考真题理科数学(解析版)湖南卷2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南)卷数学(理科)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.满足(为虚数单位)的复数()(A)(B)(C)(D)2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是,则()(A)(B)(C)(D)3.分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则()(A)(B)(C)1(D)34.的展开式中的系数是()(A)(B)0(C)5(D)2

2、05.已知命题:若,则;命题:若,则。在命题①②③④中,真命题是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于()(A)(B)(C)(D)7.一块石材表示的几何何的三视图如图2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()(A)1(B)2(C)3(D)48/82014年高考真题理科数学(解析版)湖南卷8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()(A)(B)(C)(D)9.已知函数,且,则函数的图象的一条对称轴是()(

3、A)(B)(C)(D)10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)二.填空题(本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分)(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线(为参数)交于两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是_________________。12.如图3,已知是的两条弦,,,,则的半径等于__________。13.若关于的不等式的解集为,则。(二)必做题(14-1

4、6题)14.若变量满足约束条件,且的最小值为,则_____。15.如图4,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则___________。8/82014年高考真题理科数学(解析版)湖南卷16.在平面直角坐标系中,为原点,,,,动点满足,则的最大值是__________。三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为。现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品。设甲、乙两组的研发相互独立。⑴求至少有一种新产品研发成功的概率;⑵

5、若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元。求该企业可获利润的分布列和数学期望。18.(本小题满分12分)如图5,在平面四边形中,,,。⑴求的值;⑵若,,求的长。19.(本小题满分12分)如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,,四边形和四边形均为矩形。⑴证明:底面;⑵若,求二面角的余弦值。20.(本小题满分13分)已知数列满足,。⑴若是递增数列,且成等差数列,求的值;⑵若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式。21.(本小题满分13分)如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线8/820

6、14年高考真题理科数学(解析版)湖南卷的左右焦点分别为,离心率为。已知,且。⑴求的方程;⑵过作的不垂直于轴的弦的中点。当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值。22.(本小题满分13分)已知常数,函数。⑴讨论在区间上的单调性;⑵若存在两个极值点,且,求的取值范围。2014年普通高校招生全国统考数学试卷(湖南卷)解答一.BDCACDBDAB二.11.;12.;13.;14.;15.;16.17.解:记为事件“甲组研发新产品成功”,为事件“乙组研发新产品成功”,由题,,,,且事件与、与、与、与都相互独立。⑴记为事件“至少有一种新产品研发成功”,则,于是,故

7、所求概率为;⑵设该企业可获利润为,则的可能取值为。因,,,。所以的分布列如右表所示,其数学期望为。18.解:⑴在中,由余弦定理得;8/82014年高考真题理科数学(解析版)湖南卷⑵因,,故,。于是。在中由正弦定理得,故。19.解:⑴因四边形为矩形,故。同理。因,故。而,因此底面。由题,故底面;⑵过作于,连接。由⑴知底面,故底面,于是。又因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形为菱形,因此,从而平面,所以。于是面。进而,故为二面角的平面角。不妨设,因,故,,。在中,易知,,故。20.解:⑴因为为递增数列,。而,故,。又成等差数列,故,即,解得或。当时,数列

8、为常数数列,不符合数列是递增数列。所以;⑵因是递增数列,故,于是。但,故,因此,从而。因是递减

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