14年高考真题——理科数学(湖南卷)

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1、2014年高考真题理科数学（解析版）湖南卷2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足（为虚数单位）的复数（）（A）（B）（C）（D）2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是，则（）（A）（B）（C）（D）3．分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）（A）（B）（C）1（D）34．的展开式中的系数是（）（A）（B）0（C）5（D）2

2、05．已知命题：若，则；命题：若，则。在命题①②③④中，真命题是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）（A）1（B）2（C）3（D）48/82014年高考真题理科数学（解析版）湖南卷8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）（A）（B）（C）（D）9．已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（）（

3、A）（B）（C）（D）10．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_________________。12．如图3，已知是的两条弦，，，，则的半径等于__________。13．若关于的不等式的解集为，则。（二）必做题（14-1

4、6题）14．若变量满足约束条件，且的最小值为，则_____。15．如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则___________。8/82014年高考真题理科数学（解析版）湖南卷16．在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是__________。三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为。现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品。设甲、乙两组的研发相互独立。⑴求至少有一种新产品研发成功的概率；⑵

5、若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元。求该企业可获利润的分布列和数学期望。18．（本小题满分12分）如图5，在平面四边形中，，，。⑴求的值；⑵若，，求的长。19．（本小题满分12分）如图6，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形。⑴证明：底面；⑵若，求二面角的余弦值。20．（本小题满分13分）已知数列满足，。⑴若是递增数列，且成等差数列，求的值；⑵若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式。21．（本小题满分13分）如图7，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线8/820

6、14年高考真题理科数学（解析版）湖南卷的左右焦点分别为，离心率为。已知，且。⑴求的方程；⑵过作的不垂直于轴的弦的中点。当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值。22．（本小题满分13分）已知常数，函数。⑴讨论在区间上的单调性；⑵若存在两个极值点，且，求的取值范围。2014年普通高校招生全国统考数学试卷（湖南卷）解答一．BDCACDBDAB二．11．；12．；13．；14．；15．；16．17．解：记为事件“甲组研发新产品成功”，为事件“乙组研发新产品成功”，由题，，，，且事件与、与、与、与都相互独立。⑴记为事件“至少有一种新产品研发成功”，则，于是，故

7、所求概率为；⑵设该企业可获利润为，则的可能取值为。因，，，。所以的分布列如右表所示，其数学期望为。18．解：⑴在中，由余弦定理得；8/82014年高考真题理科数学（解析版）湖南卷⑵因，，故，。于是。在中由正弦定理得，故。19．解：⑴因四边形为矩形，故。同理。因，故。而，因此底面。由题，故底面；⑵过作于，连接。由⑴知底面，故底面，于是。又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形为菱形，因此，从而平面，所以。于是面。进而，故为二面角的平面角。不妨设，因，故，，。在中，易知，，故。20．解：⑴因为为递增数列，。而，故，。又成等差数列，故，即，解得或。当时，数列

8、为常数数列，不符合数列是递增数列。所以；⑵因是递增数列，故，于是。但，故，因此，从而。因是递减