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1、第十五章机械振动15-1已知一简谐振动的振幅，周期T=0.5s,初相．试写出振动方程；并作出该振动的ｘ-t，v-t，a-t曲线．分析振动方程的基本形式为．通过作曲线,进一步了解v、a表达式的意义以及x、v、a间的相位关系．解振动方程为 v/10-2m/s8π......t/s.00.250.5-8π.（b）x/10-2m.2.....t/s.00.250.5.-2（a）ｘ-t，v-t，a-t曲线分别如图15-1（a）、（b）和（c）所示．a/10-2m/s232π2.......t/s.00.250.5.-32π2（c）图
2、15-115-2一弹簧支持的椅子构成在太空测量人体失重状态下质量的装置——人体称重器．飞船进入空间轨道时，宇航员坐在椅子上测出振动周期．(1)如为宇航员的质量，m为人体称重器中的有效质量(如椅子等)，试证明其中T是振动周期，k是弹簧的劲度系数；(2)现k=605.6N/m，椅子空着时的振动周期T=0.9015s,求有效质量m；(3)在太空，宇航员坐在椅子上,测出振动周期为2.299s,求宇航员在失重状态下的质量．分析当宇宙飞船在空间轨道上绕地球旋转自由运行时，地球对飞船及飞船上所有物体的引力就是使它们作圆周轨道运动的向心力，于是飞船
3、及飞船上所有物体如果处于相对静止状态，相互之间就不存在作用力，就不能用地面上通常使用的质量或重量测量仪器进行测量．考虑到无外力作用时，弹簧振子振动周期决定于弹簧劲度系数以及物体质量，如果已知弹簧劲度系数，通过测量振动周期可测出物体质量．解(1)弹簧振子系统振动周期为(1)宇航员的质量为(2)椅子空着时，，由(1)式得(3)15-3一质量为0.20kg的质点作简谐振动，其振动方程为x=0.60cos(5t-π/2),其中x以m为单位,t以s为单位．求：(1)质点的初速度；(2)质点在正向位移一半处所受的力．分析物体振动速度,物体所受恢
4、复力,方向指向平衡位置.解(1)据已知，得当t=0时，得v0=3m/s(2)正向最大位移一半处，x=0.30m，所受的力为方向指向平衡位置.15-4一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s,当t=0时,位移为0.06m,且向x轴正方向运动.求(1)该物体的振动方程;(2)t=0.5s时,物体的位置、速度、加速度；（3）在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动时,物体的速度、加速度，以及物体从这一位置回到平衡位置所需的时间.分析求解振动方程的难点是确定振动物体的初相．初相取决于计时起点t=0时物体的位置和速度．确定初相可用
5、三角函数法或旋转矢量法．解(1)已知振幅为A=0.12m，角频率为rad/s，t=0时初始位置和初速度分别为x0=Acos=0.06 （1）v0=>0 （2）从(1)式得 Ox图15-4得从（2）式得，所以应取此外，由t=0时初始位置和初速度可以确定其旋转矢量如图15-4所示，即．振动方程为(2)t=0.5s时，x==0.104mv(3)在=-0.06m处，物体向x轴负向运动时，设，则m(3)v1<0(4)从(3)式得解得（n=0,1,2…）又从(4)式得应取（n=0,1,2…）故设回到平衡位置时,则(
6、5)v2>0(6)从(5)式得或(n=1,2…)从(6)式得<0应取(n=1,2…)回到平衡位置所需时间t0 AA-0.12O x图15-515-5一个质点作简谐振动,其振动方程为x=0.24cos(πt/2+π/3)m，其中x以m计,t以s计．试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到x=-0.12m,v<0状态所需的最短时间.分析根据振动方程,初相为，即当=0时旋转矢量A与Ox轴夹角为,当处于x=-0.12m,v<0状态时，A与Ox轴夹角为，如图15-5所示．因此，A沿逆时针方向从位置转到新位置偏转过的最小角度为，转过此角度所需时间
7、即为所求．解如图15-5所示,时刻的相位为A沿逆时针方向从位置转过角度所需的时间为15-6作简谐振动的单摆在一个周期内的几个运动状态如图15-6所示.(1)若以(a)图所示的状态为计时起点；(2)若以(b)图所示的状态为计时起点，问单摆的初相位和其它各图所示状态的相位各为何值?分析应从本题得出的结论是:初相与计时起点(即初始条件)有关;相位与与计时起点无关而与振动物体的瞬时状态有关.解(1)以图(a)状态为计时起点，t=0时得，因此对图(b)有(1)(2)从(1)式得 从(2)式得 >0所以图(b)的相位应取 同理，对
8、图(c)对图(d) (a)(b) (c)(d)θ最大,θ=0,为负最大 θ为负最大,θ=0,最大图15-6(2)以图(b)状态为计时起点，t=0时，有(3)(4)(3)式(4)式联立,解得同
