成才之路·人教b版数学·必修5 1-2-1

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1、第1章1.2第1课时基础巩固一、选择题1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(　　)A．10海里B．10海里C．5海里D．5海里[答案]　D[解析]　如图，由正弦定理得＝，∴BC＝5.2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为(　　)A.B．2C．2或D．3[答案]　C[解析]　由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，由余弦定理cos30°＝，∴x＝2或.3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯

2、塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．akmB.akmC.akmD．2akm[答案]　B[解析]　∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．4．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸(　　)A．5mB．10mC．10mD．10m[答案]　C[解析]　如图，在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴x＝10m.5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)A．10米B．1

3、00米C．20米D．30米[答案]　D[解析]　设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD.m[答案]　A[解析]　由题意知∠ABC＝30°由正弦定理得，＝

4、∴AB＝＝＝50(m)．二、填空题7．两船同时从A港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________海里．[答案]　28[解析]　如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(海里)．8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确

5、到0.1km)[答案]　5.2[解析]　作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理＝，可得BS≈5.2(km)．三、解答题9．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？[解析]　解法一：如图，连接A1B2，由已知，A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°∴

6、△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10，由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，由△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10因此乙船的速度的大小为×60＝30(海里/小时)．答：乙船每小时航行30海里．解法二：如图，连结A2B1.由已知，A1B1＝20，A1A2＝30×＝10，∠B1A1A2＝105°cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝，sin105°＝sin(45°＋60°)＝s

7、in45°cos60°＋cos45°sin60°＝，在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105°＝(10)2＋202－2×10×20×＝100(4＋2)．∴A2B1＝10(1＋)．由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝.在△B1A2B2中，由已知，