高考专项训练.空间几何大题

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1、空间几何1．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．2．（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．3．（2011•宜阳县）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，

2、E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．4．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．5．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1/2PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值

3、．6．（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=2，BF=．（I）求证：CF⊥C1E；（II）求二面角E﹣CF﹣C1的大小．7．（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．8．（2011•杭州）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面A

4、BCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDM；（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定。专题：综合题。分析：（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，PA⊥平

5、面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=，知AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，所以AE⊥CD．由AB∥CD，知AE⊥AB．由此能够证明平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）法一：由AE⊥平面PAB，AE⊂平面PAE，知平面PAE⊥平面PAB，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由AE⊥CD，PA∩AE=A，知CD⊥平面PAE，由CD⊂平面PCD，知平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面，由此能够求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．（Ⅱ）法二：以A为原点，AB、AE分别为x

6、轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），则，，，由AE⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为，求出平面PCD的一个法向量．由此能求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，∴AD2=DE2+AE2，∴∠AED=90°，即AE⊥CD．∵AB∥CD，∴AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥A

7、E．∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE．∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分）所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分）在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（1

8、0分）∵PA=2，∴．所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），