平面向量的内积教案

《平面向量的内积教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两

2、向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当＝0时，a·b＝

3、a

4、

5、b

6、；当＝时，a·b＝－

7、a

8、

9、b

10、．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）

11、a

12、＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a·b＝0ab

13、”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3平面向量的内积*创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i+yj，即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直

14、方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）OxijF(x,y)yBAO图7－23ab这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a

15、

16、b

17、cos

18、,b>　　　　　　　(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当＝0时，a·b＝

19、a

20、

21、b

22、；当＝时，a·b＝−

23、a

24、

25、b

26、.（2）cos＝.（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝

27、a

28、

29、a

30、＝

31、a

32、2，即

33、a

34、＝.（4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋

35、b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例1已知

36、a

37、＝3,

38、b

39、＝2,＝,求a·b．解a·b＝

40、a

41、

42、b

43、cos＝3×2×cos＝3．例2已知

44、a

45、＝

46、b

47、＝,a·b＝,求．解cos＝＝＝−.由于0≤≤，所以＝．*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a

48、

49、

50、b

51、cos(7.10)a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；运用知识强化练习1.已知

52、a

53、＝7，

54、b

55、＝4，a和b的夹角为，求a·b．2.已知a·a＝9,求

56、a

57、．3.已知

58、a

59、＝2,

60、b

61、＝3,＝，求(2a＋b)·b．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又

62、i

63、＝

64、j

65、＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2

66、j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2

67、j

68、2＋y1y2

69、j

70、2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2　　　(7.11)利用公式(7