2016新课标创新人教a版数学选修1-1 3.1变化率与导数

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1、第1课时　变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝.①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：≈0.62(dm/L)．②当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：≈0.16(dm/L)．③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：．(2)高台跳水在高台跳水

2、运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝＝4.05(m/s)．24②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝＝－8.2(m/s)．③在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度v又是多少？提示：v＝．2．归纳总结，核心必记(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把

3、式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为．(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：，我们称它为函数y

4、＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

5、x＝x0，即f′(x0)＝=．[问题思考](1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？提示：表示割线AB的斜率．24(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？提示：v

6、＝.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．[课前反思](1)平均变化率的定义是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)什么是函数的瞬时变化

7、率？它与平均变化率有什么区别和联系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(3)导数的定义是什么？如何表示？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．[思考1]　平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．[思考2]　如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

8、？24提示：平均变化率为．讲一讲1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[尝试解答]　(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝

9、x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率＝.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式．练一练1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函