一类二阶时变系数线性微分方程的积分解_张学元

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1、第13卷第4期湖南工程学院学报Vo1.13.No.42003年12月JournalofHunanInstituteofEngineeringDec.2003一类二阶时变系数线性微分方程的积分解¹张学元(湖南工程学院数理系,湖南湘潭411104)摘要:对一类二阶时变系数线性齐次微分方程和非齐次微分方程引入了特征方程的概念,给出了由其特征根确定通解和特解的积分表达式,推广了经典的二阶常系数线性微分方程和Euler方程的解法.关键词:二阶时变系数线性微分方程;特征方程;通解和特解的积分表达式中图分类号:O175.23文献标识码:A文章编号:1671-119X(2003)04-0088-071基

2、本结果考虑形如下的二阶时变系数线性齐次微分方程2dygc(t)dy22+pg(t)-+qg(t)y=0(1)dtg(t)dt和相应的非齐次微分方程2dygc(t)dy22+pg(t)-+qg(t)y=f(t)(2)dtg(t)dt其中p、q为实常数,g(t),f(t)为某区间I内的连续函数,且g(t)可微,f(t)、g(t)不恒为零.本文证明了方程(1)和(2)是可积的.为此,引进定义称一元二次代数方程2r+pr+q=0(3)2-p?p-4q为微分方程(1)的特征方程,它的根r1,2=称为特征根2定理1二阶时变系数线性齐次微分方程(1)的通解可根据其特征根的不同情况给出:()当特征方程(

3、3)有两相异实根r1Xr2时,微分方程(1)在区间I内的通解为ttrg(s)dsrg(s)dsy=C1e1Qt0+C2e2Qt0(4)()当特征方程(3)有两个相等的实根r1=r2时,微分方程(1)在区间I内的通解为ttrg(s)dsy=e1Qt0(C1+C2Qg(s)ds)(5)t0()当特征方程(3)有一对共轭虚根r1,2=A?Bi(BX0)时,微分方程(1)在区间I内的通解为ttty=eAQtg(s)ds[C1cosBg(s)ds+C2sinBg(s)ds](6)0QQtt00其中C1,C2为任意常数,toII.t证明根据方程(1)的特点,容易猜测方程(1)有y=erQtg(s)d

4、s试一试,看能否选择适的常数r,使函数0rQtg(s)dsy=et0满足方程(1).trQg(s)ds对y=et0求导,得到¹收稿日期:2003-02-16作者简介:张学元(1940-),男,教授,研究方向:微分方程.第4期张学元:一类二阶时变系数线性微分方程的积分解89dytd2ytdyd2y=rg(t)erQtg(s)ds,=[r2g2(t)+rgc(t)]erQtg(s)ds将y,,代入方程(1),得到0202dtdtdtdtt2rg(s)ds(r+pr+q)eQt0=0trQg(s)ds由于et0X0,所以2r+pr+q=0(3)trQg(s)ds这就说明,只要r是特征方程(3)

5、的根,那么函数y=et0就是微分方程(1)的解.特征方程(3)有2-p?p-4q2两个根r1,2=,依照p-4q的符号,它们有三种不同的情形,相应地微分方程(1)的通解2也有三种不同的情形:t2rg(s)ds()特征方程(3)有两个相异的实根r1Xr2,即p-4q>时,这时方程(1)有两个特解y1=e1Qt0rtg(s)dsy1(r-r)tg(s)ds与y2=e2Qt0,注意到g(t)X0,故=e12Qt0X常数,所以y1与y2线性无关,从而得到微分y2方程(1)的通解为ttrg(s)dsrg(s)dsy=C1e1Qt0+C2e2Qt0(4)2()特征方程(3)有两个相等的实根r1=r2

6、,即p-4q=0时,我们只得到方程(1)的一个特解trg(s)dsy1=e1Qt0trg(s)ds为了得出方程(1)的通解,还需要求出另一个与y1线性无关的特解y2,为此设y2=u(t)e1Qt0,其中u(t)为待定函数,将y2求导,得到trg(s)dsyc2=(uc+r1g(t)u)e1Qt0t22rg(s)dsyd2=[ud+2r1g(t)uc+(r1g(t)+r1gc(t)u]e1Qt0将y2,yc2,yd2代入方程(1),得到gc(t)22ud-uc+(2r1+p)g(t)uc+(r1+pr1+q)g(t)u=0g(t)2因为r1是特征方程(3)的二重根,故r1+pr1+q=0,

7、2r1+p=0,于是上式成为gc(t)ud-uc=0g(t)这是一个不显含未知函数u(t)的二阶方程,因为我们只要得到一个不为常数的函数u,用降阶法不难t求得满足上式的一个简单函数u=Qg(s)ds,由此得到方程(1)的另一个与y1线性无关的解y2=t0ttrg(s)ds(Qg(s)ds)e1Qt0,从而得方程(1)的通解为t0tttrg(s)dsrg(s)dsy=C1e1Qt0+C2Qg(s)dse1Qt0t0ttrg(s)ds=