两类二阶变系数线性微分方程的解法

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1、摘要：本文介绍了两类二阶线性微分方程的解法，并给出例子验证结论。关键词：变系数;微分方程;通解1.预备知识考虑二阶非齐次线性微分方程[1-4]y"+p(x)/+q(x)y=f(x)(1)(其中p(x)，q(x)，f(x)是关于x的未知函数)的解;若f(x)=0,则该方程为齐次微分方程y〃+p(x)/+q(x)y=0.(2)特解：若y0满足方程y"+p(x)y'+q(x)y=0,则称yO是该方程的一个特解。通解：对于方程y"+p(x)y'+q(x)y=0，若yl(x)，y2(x)是该方程的两个线性无关的解，则称y=clyl+c2y2(这里cl，c2为任意常数)为该方程的通

2、解。下面给出两类二阶线性微分方程的解法。2.主要定理及结论2.1类型一对于方程(2)，当它可以表示为p2x2y"+plxy'+pOy=O（其中p2,pl，pO为任意常数）（3）的形式时，可以通过欧拉变换化为常系数微分方程，进而可以求出其通解。事实上，引进自变量的变换：x=et,t=lnx直接计算得到dydx=dydt?dtdx=e-tdydt，d2ydx2=e-tddt（e-tdydt）=e-2t（d2ydt2-dydt）。代入方程（3）得到b2d2ydt2+bldydt+b0y=0（这里b2，bl，bO为常数）从而可以求出此方程的通解，再代回原来的变量就可求得原方程的

3、通解。例1求解方程3x2y"-xy'+y=x2。解该方程对应的齐次微分方程为3x2y"-xy'+y=0,（4）设方程（4）的一个非零解为y=xX，代入方程（4）得3x2入（入-1）x入-2-x?入？x入-1+x入-l=xX（3入2-4入+1）=0解得入1=1，入2=13故方程(4)的通解Sy=clxl3+c2x，这里cl，c2为任意常数。设原方程的一个特解为y=bx2,代原方程有3x2b?2-xb?2x+bx2=x2解得b=19,所以该方程的通解为y=clxl3+c2x+19x2,这里cl，c2为任意常数。2.2类型二对于一些二阶方程，当它的系数满足一些条件时，可以化二

4、阶方程为一阶方程，进而求解。定理1对于方程(2)若p'(x)=q(X)，则方程(2)的通解为y=e-fp(x)dx(cl/eJ*p(x)dxdx+c2)=cle-fp(x)dx/e/p(x)dxdx+c2e-fp(x)dx这里cl:c2为任意常数。证明对于方程y"+p(x)y'+q(x)y=0,若p'(x)=q(x)，则原方程可化为(y'+p(x)y)'=0，积分求得yf+p(x)y=Co利用常数变易法求得该方程的通解为y=cle-fp(x)dx/e/p(x)dxdx+c2e-fp(x)dx。例2解方程y〃+(lx+1)yz-lx2y=lo解该方程对应的齐次方程为y"+

5、(lx+1)y'-lx2y=0,这里p(x)=lx+l，q(x)=-1x2，有p’(x)=q(X)，故该齐次方程的通解为y=cle-f(lx+1)dx?fef(lx+1)dxdx+c2e-f(lx+1)dx=cle-lnx-x?felnx+xdx+c21xex=clx-lx+c21xex应用常数变易法，设非齐次方程的通解为y=cl(x)x-lx+c2(x)lxex，得方程组cl’(x)x-lx+c2'(x)lxex=Oclz(x)Ix2-c2z(x)l+xx2ex=l,解得Cl，(X)=1c2z(x)=ex(1-x)，积分求得cl(x)=x+ulc2(x)=(2-x)e

6、x+u2，故原方程的通解为y=ul(x-1)+u21xex+x+2x-2,ul,u2为常数。(作者单位：云南大学数学系)参考文献：[1]罗亚平，陈仲.微分方程[M].南京：南京大学出版社，1987[2]朱思铭，王寿松.常微分方程第三版[M].北京:高等教育出版社，2007[3]张敬，齐秀丽，二阶变系数线性微分方程的几个可积类型U].高师理科学刊，2005(3).[4]李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解[J].高等数学研究，2002，5(02)：10-13.