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时间:2018-07-30
《数学解题真经(八)化归思想的基本原则》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、化归思想的基本原则---杨飞化归思想是我们加工处理信息的操作性规律。在指导我们加工处理信息的过程中所表现的基本原则有:清晰性原则、熟悉性原则、综合性原则。论述如下:清晰性原则在加工处理信息的过程中,利用个人的认知经验把信息的表现形式和内容给以转化,呈现出清晰的感性材料。这种加工处理信息的原则就是清晰性原则。问题呈现给我们的感性材料,可能是一种粗糙的、模糊的信息材料,这些材料在表达上具有非直观形象化,非数学语言化,在内容上具有隐蔽性、复杂性。容易给我们感知和思维活动造成一定障碍,所以我们在加工处理信息的过程中,首先就得
2、对这些信息进行清晰。清晰后的新信息更适合个人认知活动的心理需求,可以加速神经系统的传导,有利于新信息与认知结构的链接。常见的清晰手段有:①将问题信息用数学语言进行表达,便于我们运用数学方法来解决。②将问题的信息用数形结合的方法进行描述,使信息表述得更详尽、更直观。③将复杂的信息进行形变化归,使复杂信息的内涵得到彻底挖掘和暴露。例1调查某个高中班学生的升学报考志愿情况,得到如下结果。1.报考A大学的学生不报考B大学;2.报考B大学的学生也报考D大学;3.报考C大学的学生不报考D大学;4.不报考C大学的学生报考B大学。根
3、据上述结果,某人得出下述结论。①报考D大学的学生也报考A大学。②没有既报考B大学又报考C大学的学生。③有既报考C大学又报考D大学的学生④报考B大学的学生数和报考D大学的学生数相同。⑤报考A大学的学生也报考C大学。这些结论中正确的是()A①②③;B②④⑤;C①②④;D③④⑤.此题信息繁多,让人感到有点云里雾里,虽然每项信息的含义简单明白,毫不隐蔽,人人都会用逻辑推理的方法去探求解答方案,但推理过程容易混乱且不便于描述,对问题产生排斥心理。对此,我们先将各项信息进行数学语言化处理,使问题的信息直白清晰,以观其变。用x表示
4、高中班学生,“”表示报考,“”表示不报考。则调查结果可改写为:1.,再由原命题与逆否命题等价可知,2.或.3.或.4.或.这样处理后,问题的各项信息已简洁、明白。我们对问题新信息感到亲切、熟悉。下面再考察四个结论:考查①:,则①错.考查②:,则②对.考查③:,知③不正确.考查④:,,可知④正确.考查⑤:,则⑤对.所以答案B正确.⌒AB例2已知AB为半圆的直径,CDEF为正方形,边长为1,C、F在AB上,D、E在上,AC、AF的长分别为,.求证:.解首先对信息进行清晰.(右边是等比数列的前k+1项和)化简为.所以,(通
5、过信息清晰后,我们再与结论信息进行综合加工──题变化归).要证,即证DEAFCB从而即证(※)(由于信息(※)是关于a、b的两个关系式,再与半圆这项信息进行综合加工).事实上,由图形可知,,.即所以从而可知.此题在证明(※)成立的过程中,利用数形结合的方法,把(※)这样一个“数的关系式”,反映到“半圆这个图形”上,使问题的信息直观清晰,为证明(※)作好了铺垫。例3已知,,,,,求证:(第36届IMO试题的推广)其中,记号表示中任取个作乘积,所有可能情况的积之和,共有个.此题让人有点不知所云,主要是在制造迷惑,所以首先
6、对进行清晰。我们每一次从中取个作乘积,其实就是每一次从中取出不含和的所有数,所以,,令,.则,从而有.通过形变化归后原不等式化为:已知求证:.此时,问题的信息清晰明了。因为这已是竞赛中我们熟悉的不等式问题(读者可以参见第23课).由此可见,通过信息清晰,我们可以拨开乌云,给思维一片晴朗的天空,清晰的解题思路就呈现在我们的面前.
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