数学解题真经(八)化归思想的基本原则

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1、化归思想的基本原则---杨飞化归思想是我们加工处理信息的操作性规律。在指导我们加工处理信息的过程中所表现的基本原则有：清晰性原则、熟悉性原则、综合性原则。论述如下：清晰性原则在加工处理信息的过程中，利用个人的认知经验把信息的表现形式和内容给以转化，呈现出清晰的感性材料。这种加工处理信息的原则就是清晰性原则。问题呈现给我们的感性材料，可能是一种粗糙的、模糊的信息材料，这些材料在表达上具有非直观形象化，非数学语言化，在内容上具有隐蔽性、复杂性。容易给我们感知和思维活动造成一定障碍，所以我们在加工处理信息的过程中，首先就得

2、对这些信息进行清晰。清晰后的新信息更适合个人认知活动的心理需求，可以加速神经系统的传导，有利于新信息与认知结构的链接。常见的清晰手段有：①将问题信息用数学语言进行表达，便于我们运用数学方法来解决。②将问题的信息用数形结合的方法进行描述，使信息表述得更详尽、更直观。③将复杂的信息进行形变化归，使复杂信息的内涵得到彻底挖掘和暴露。例1调查某个高中班学生的升学报考志愿情况，得到如下结果。1．报考A大学的学生不报考B大学；2．报考B大学的学生也报考D大学；3．报考C大学的学生不报考D大学；4．不报考C大学的学生报考B大学。根

3、据上述结果，某人得出下述结论。①报考D大学的学生也报考A大学。②没有既报考B大学又报考C大学的学生。③有既报考C大学又报考D大学的学生④报考B大学的学生数和报考D大学的学生数相同。⑤报考A大学的学生也报考C大学。这些结论中正确的是（）A①②③；B②④⑤；C①②④；D③④⑤.此题信息繁多，让人感到有点云里雾里，虽然每项信息的含义简单明白，毫不隐蔽，人人都会用逻辑推理的方法去探求解答方案，但推理过程容易混乱且不便于描述，对问题产生排斥心理。对此，我们先将各项信息进行数学语言化处理，使问题的信息直白清晰，以观其变。用x表示

4、高中班学生，“”表示报考，“”表示不报考。则调查结果可改写为：1．，再由原命题与逆否命题等价可知，2．或.3．或.4．或.这样处理后，问题的各项信息已简洁、明白。我们对问题新信息感到亲切、熟悉。下面再考察四个结论：考查①：，则①错.考查②：，则②对.考查③：，知③不正确.考查④：，，可知④正确.考查⑤：，则⑤对.所以答案B正确.⌒AB例2已知AB为半圆的直径，CDEF为正方形，边长为1，C、F在AB上，D、E在上，AC、AF的长分别为，.求证：.解首先对信息进行清晰.（右边是等比数列的前k+1项和）化简为.所以，（通

5、过信息清晰后，我们再与结论信息进行综合加工──题变化归）.要证，即证DEAFCB从而即证（※）（由于信息（※）是关于a、b的两个关系式，再与半圆这项信息进行综合加工）.事实上，由图形可知，，.即所以从而可知.此题在证明（※）成立的过程中，利用数形结合的方法，把（※）这样一个“数的关系式”，反映到“半圆这个图形”上，使问题的信息直观清晰，为证明（※）作好了铺垫。例3已知，，,,,求证：（第36届IMO试题的推广）其中，记号表示中任取个作乘积，所有可能情况的积之和，共有个.此题让人有点不知所云，主要是在制造迷惑，所以首先

6、对进行清晰。我们每一次从中取个作乘积，其实就是每一次从中取出不含和的所有数，所以，，令，.则，从而有.通过形变化归后原不等式化为：已知求证：.此时，问题的信息清晰明了。因为这已是竞赛中我们熟悉的不等式问题（读者可以参见第23课）.由此可见，通过信息清晰，我们可以拨开乌云，给思维一片晴朗的天空，清晰的解题思路就呈现在我们的面前.