初中梯形知识+习题+难题

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1、第11页共11页梯　形　　一、四边形的分类：　　我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。　　二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。　　1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。　　2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。　　3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。　　4.等腰梯形的性质：　　（1）由定义知两腰相等，两底平行；　　（2）等腰梯形在

2、同一底上的两个角相等；　　（3）等腰梯形的两条对角线相等；　　（4）等腰梯形是轴对称图形。　　5.等腰梯形的判定：　　（1）用定义判定；　　（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；　　（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。　　三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线：　　1.延长两腰交于一点　　作用：使梯形问题转化为三角形问题。　　若是等腰梯形则得到等腰三角形。第11页共11页　　　　2.平移一腰　　作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。　　　　3.作高　　　　　　　

3、作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。　　4.平移一条对角线　　作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，　　BE等于上、下底的和　　　（2）S梯形ABCD=S△DBE　　5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。　　　作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。　　　　6.添加梯形中位线　　作用：能应用梯形中位线的有关性质。　　四、例题：　　研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。　　例1.如图在Rt△A

4、BC中，∠BAC=900，BD=BA，M为BC中点，MN//AD交AB于N。求证：DN=BC。　　第11页共11页分析：此题是证线段的“倍半”问题，我们知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，已知∠CAB=900，若连结AM，则AM=BC，只要证明AM=DN即可。于是考虑证明四边形ANMD是等腰梯形即可。　　证明：连结AM，　　∵∠CAB=900，M为BC中点，　　∴AM=BC，　　∵MN//AD且DM与AN不平行，　　∴四边形ANMD是梯形，　　又∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA，　　∴梯形ANM

5、D是等腰梯形。　　∴DN=AM（等腰梯形对角线相等）　　∴DN=BC。　　说明：“等腰梯形对角线相等”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。　　例2.已知如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，BD=5cm，高DE=4cm。求：S梯形ABCD。分析：已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。平移一条对角线，即作DF//AC交BC延长线于F，这样AD=CF，只要求出BF的长即可。　　解：过D作DF//AC交BC延长线于F，　　∵AD//BC，∴AD=CF，　　∴BF=BC+CF=BC+AD，　

6、　∵AC⊥BD，∴BD⊥DF，∴△DBF是Rt△，　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，（勾股定理）　　∴BE2=BD2-DE2，又∵BD=5，DE=4，　　∴BE==3，　　在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2　(1)　　在Rt△DBF中，BD2+DF2=BF2　　∴BF2-BD2=DF2(2)第11页共11页　　由(1),(2)两式可得　DE2+EF2=BF2-BD2，　　设EF=x，则BF=3+x，　　∴42+x2=(3+x)2-52　　化简得3x=16　　∴x=，即EF=，　　∴BF=B

7、E+EF=3+=,　　∴S梯形ABCD=(BC+AD)×DE=BF·DE　　=××4=(cm2)　　∴所求梯形面积是cm2。　　说明：在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法——方程思想。即利用方程求线段的长。　　用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，Rt△DEF和Rt△DBF，共用一条边DF，因此借助勾股定理分别把DF2用

8、其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即BF2-BD2=DE2+EF2，再合理设出未知量，就得到了方程。请同学们在今后的学习中注意使用方程思想。　　例3.已知：梯形ABCD中，DC//AB，AC=CB，∠ACB=900，BD=AB，AC、BD相交于E。求证：△ADE是等腰三角形。分析：由已知得到△ACB是等腰直角三角形，若作CH⊥AB于H，可得CH=AB，即CH=BD，作DF⊥AB于F，可得DF=CH=BD