10.3 二项式定理

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1、10.3二项式定理一、选择题1．若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)A．6B．10C．12D．15解析：Tr＋1＝C()n－r(－)r＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案：C2．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)A．74B．121C．－74D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.答案：D3．(2009·滨州调研)在(x2＋

2、3x＋2)5展开式中x的系数为(　　)A．160B．240C．360D．800解析：解法一：在(x2＋3x＋2)5展开式中x项的系数为3C×24＝240.解法二：(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5＝(x5＋Cx4＋…＋1)(x5＋2Cx4＋…＋25)，∴其展开式中x项的系数为C25＋C24＝240.答案：B4．在(1－x)5(1＋x)4的展开式中x3项的系数为(　　)A．－6B．－4C．4D．6解析：(1－x)5(1＋x)4＝(1－Cx＋Cx2－Cx3＋…)·(1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4)，

3、∴x3项的系数为1×C－CC＋CC－C×1＝4.答案：C二、填空题5．已知二项式(1－3x)n的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x2项的系数是________．解析：令x＝1，则(1－3x)n＝(－2)n，即(－2)n＝64，∴n＝6.又Tr＋1＝C(－3x)r，则T3＝C(－3x)2＝135x2，∴(1－3x)n展开式中含x2项的系数为135.答案：1356．(x2＋1)(x－2)7的展开式中x3项的系数是________．解析：(x2＋1)(x－2)7＝(x2＋1)(x7－2Cx6＋4C

4、x5－8Cx4＋16Cx3－32Cx2＋64Cx－128)，则其展开式中x3项的系数为64C＋16C＝1008.答案：10087．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.答案：364三、解答题8．已知(＋)n的展开式中前三项的x的系数成等差数列．(

5、1)求展开式里所有的x的有理项；(2)求展开式里系数最大的项．解答：(1)∵C＝1，C·＝，C()2＝n(n－1)，由题设可知2·＝1＋n(n－1)，n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．当n＝8，通项Tr＋1＝C()8－r·(2)－r＝C·2－r·x4－r.据题意，4－必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8，∴r＝0,4,8，故x的有理项为T1＝x4，T5＝x，T9＝.(2)设第r＋1项的系数tr＋1最大，显然tr＋1＞0，故有≥1且≤1.∵＝＝，由≥1得r≤3.∵≤1，得r≥2，∴r＝2

6、或r＝3，所求项为T3＝7x和T4＝7x.9．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．解答：等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝＝＝，当k＝2m－1时，m∈N*，n＝∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．10．已知f(x)＝.(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞.证

7、明：(1)设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝＝，由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞，即＞，只须证2n＞2n＋1，∵2n＝C＋C＋C＋…＋C＞C＋C＋C＝2n＋1.∴f(n)＞.1．若(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，令f(n)＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)等于(　　)A.(2n－1)B.(

8、2n－1)C.(4n－1)D.(4n－1)解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝22n，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a2n＝0，②×①＋×②得　a0＋a2＋…＋a2n＝22n－1，即f(n)＝22n－1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1)．答案：D2．若数列{an}的通项公式为an＝(1＋)n，试证：(1)数列{an}为递增数列；(