江苏省高三历次模拟试题分类汇编：第13章空间向量与立体几何

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1、目录（基础复习部分）第十三章空间向量与立体几何2第01课空间向量与运算2第02课空间向量与空间角的计算2-16-第十三章空间向量与立体几何第01课空间向量与运算第02课空间向量与空间角的计算（第22题图）ABCDEA1B1C1D122．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且＝λ．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ＝，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求

2、cosθ

3、．（第22题图）xyzABCDEA1B1C1D122．

4、解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．因为＝λ，所以E(0，3，5λ)．从而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)．……2分当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得＜λ＜．即实数λ的取值范围是(，)．……………………………………5分（2）当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．设平面BEA1的一个法向量为n1＝

5、(x，y，z)，由得取x＝1，得y＝，z＝1，所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，，1)．…………………………………7分易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．因为cos＝＝＝，-16-从而

6、cosθ

7、＝．……………………………………10分在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．（1）求证：平面；ABCDPQ（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．……………………1分

8、设，则，，，，故，，，………………2分因为，，故，，即，，又……4分所以，平面．………………………5分（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量为，--------------------------------6分点的坐标为，则，，设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故．-------------------------------------------------------------------------------------------8分-16-设与的夹角为，则．----------------

9、----------------------9分所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为--------------------------------------10分如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度；ABCPDC’D’O’B’A’（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．ABCPDC’D’O’B’A’yxz22.解：（1）以，，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，知，，，，．设，∴，.设异面直线与所成角为，则，化简得，解得或，

10、或．………5分（2）∵，∴，，，，，设平面的一个法向量为，-16-∴∴即取，，设平面的一个法向量为，∴∴即取，，设平面与平面所成角为，∴，∴．………………10分如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，MPDCBA（第22题），，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为轴建立直角坐标系．………………………………………………1分

11、则，，，，，所以，，，……………………3分．…………………………………4分所以异面直线PB与MD所成的角为．…………………………………………5分（2）设平面PCD的法向量为，平面PAD的法向量为，因为，，，由令，得，……………………7分-16-由令，得，…………………8分所以，所以．……………10分BAEDC（南通调研一）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90º．（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B-AE

12、-C的余弦值．-16--16-ACEABE（南京盐城模拟一）CABPB1C1A1第22题图如图，在直三棱柱中，，，，动点满足．当时，．（1）求棱的长；（2）若二面角的大小为，求的值．解：（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，所以，．………………2分当时，有，解得，即棱的长为．………………4分（2）设平面的一个法向量为，，-1