第3讲势的定义--可数集合与连续势

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1、目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其基本性质。重点与难点：可数集合的性质，连续势的性质。第3讲势的定义--可数集合与连续势第3讲势的定义--可数集合与连续势一．可数集合定义凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与R1对等的集称为具有连续势。可数集性质：定理2任何无穷集都包含一个可数子集。证明：假设是一个无穷集，任取，因无穷，故亦无穷，因此又可以从中任取一个元素，显然，假如已从中取出个元素，则由是无穷集知仍是无穷集，从而可从中取出一个元素，由归纳法知可从中取出互不相同得元素第3讲势的定义--可数集合与连续势排成一无穷序列：，显然是的可数子列。证毕。第3讲势的定义--可

2、数集合与连续势定理3可数集合的无穷子集仍是可数的。证明：假设是可数集，是的无穷子集，由定理2，含可数子集，于是，但，故，从而也是可数的。证毕。第3讲势的定义--可数集合与连续势定理4设是可数集，是有限集或可数集，则可数。证明：由于有限或可数，故有限或可数，所以可以写成，或，又因可数，从而可以写成，将按如下方法排列：当时，将排成第3讲势的定义--可数集合与连续势当将排成无论哪种情形，显然都是可数的。证毕。第3讲势的定义--可数集合与连续势定理5有限个或可数个有限集或可数集的并仍是有限集或可数集。证明：不妨假设是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将中元素排列成，（

3、如果是有限集，则排列成）。于是表示中的第3讲势的定义--可数集合与连续势第个元素，记，则对任意自然数，满足的数组必为有限个，首先按从小到大的顺序进行编号，即将编为对每个，将重新写成第3讲势的定义--可数集合与连续势即按第一个下标从小到大的顺序排列，应该注意的是中可能含一些重复的元素，暂且将重复元素留着，最后将排成在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。第3讲势的定义--可数集合与连续势第3讲势的定义--可数集合与连续势如果说表示正整数，表示一个有限集与可数集之并的势，表示个可数集之并的势，表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式：（1）（2）

4、（3）（4）定理6。证明：记，显然是可数集，故可数；同理每个也可数，从而可数，于是第3讲势的定义--可数集合与连续势是可数的，即。证毕。定理6告诉我们，尽管有理数全体在数轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！第3讲势的定义--可数集合与连续势第3讲势的定义--可数集合与连续势问题1：可数集合的性质与有限集合的性质有何异同？其本质差别是什么？前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。第3讲势的定义--可数集合与连续势命题1假设是无穷集，是可数集或有限集，则。证明：由可数或有限知也可数或有限

5、，且，故不妨假设与不相交。由定理2知含可数子集，不妨记为，则仍可数，于是与第3讲势的定义--可数集合与连续势对等，又与自身对等，不妨设是与的1-1对应，是到自身的恒等映射，则令，易知是第3讲势的定义--可数集合与连续势的1-1对应，从而。证毕。二．无限集的特征问题2:有限集与无限集的本质差别是否也体现在一般的无限集？这种差别是否正是无限集的特征？第3讲势的定义--可数集合与连续势命题2是无穷集当且仅当它可以与其真子集对等。证明：先证必要性，若可数，则结论显然，故不妨设不是可数集，由定理2，含可数子集，由于非可数，所以仍是无穷集，由命题1立知第3讲势的定义--可数集合与连

6、续势即与其真子集对等。为证充分性，我们要证，若与其真子集对等，必是无穷集。假若不然，是有限集，不妨设为，与其真子集对等，记与对等的真子集为，是与之间的1-1对应。则，注意第3讲势的定义--可数集合与连续势且因是一一的，故对不同的，。故是中个不同的元素，于是。然而。这说明。这个矛盾意味着必是无穷集。证毕。第3讲势的定义--可数集合与连续势在例2中，我们已经看到与是不对等的，因此是一个不可数集合，我们也知道是最小的无穷集，所以。有一个很有意思的问题，存不存在这样的集合，其势位于与之间？即。Cantor首先考虑了这个问题，但他未能解决。他猜测，没有这个中第3讲势的定义--可数

7、集合与连续势间势，这就是著名的连续统假设，严格说来，至今没有人能证明是否存在这种势，但大家普遍承认Cantor的猜测，并将此作为集合论的一条公理。人们已经证明，这条公理与集合论的其它公理是相互独立的，换言之，无论是承认还是否认这条公理，都不会与其它公理发生冲突。第3讲势的定义--可数集合与连续势三．具有连续势的集合例3只要a