2013年新课标数学40个考点总动员 考点13 三角函数的图像和性质教师版

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1、【高考再现】热点一三角函数的图像1.（2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是2．（2012年高考（课标文））已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则=（　　）A．B．C．D．3．（2012年高考（福建文））函数的图像的一条对称轴是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】把代入后得到,因而对称轴为,答案C正确.4．（2012年高考（安徽文））要得到函数的图象,只要将函数的图象（　　）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单

2、位D．向右平移个单位【解析】选左+1,平移5．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sin()的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.(1)若,点P的坐标为(0,),则______;(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为_______.6．（2012年高考（湖南文））已知函数的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数的单调递增区间.7．（2012年高考（四川理））函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.(Ⅰ)求

3、的值及函数的值域;(Ⅱ)若,且,求的值.[解析](Ⅰ)由已知可得:=3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4所以,函数所以,函数8.（2012年高考（陕西文））函数()的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值.【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴．故函数的解析式为．（Ⅱ）∵，即，∵，∴，∴，故．【方法总结】1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期

4、T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2.y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，即其对称中心为(，0)(k∈Z)．3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为.4.根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；(3)ω的确定：

5、结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.热点三三角函数的最值1．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（　　）A．[-2,2]B．[-,]C．[-1,1]D．[-,]2．（2012年高考（大纲理））当函数取得最大值时，_______________.3．（2012年高考（四川文））已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;(Ⅱ)若,求的值.4.2012年高考（山东理））已知向量,函数的最大值为6.(Ⅰ)求;(Ⅱ)将

6、函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.【方法总结】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.热点三三角函数的单调性1．（2012年高考（新课标理））已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】【解析】不合题意排除合题意排除另:,得:

7、2．（2012年高考（天津理））已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.3.（2012年高考（湖北文））设函数的图像关于直线对称,其中为常数,且(1)求函数的最小正周期;(2)若的图像经过点,求函数的值域.【解析】(1)因为由直线是图像的一条对称轴,可得所以,即又,所以时,,故的最小正周期是.(2)由的图象过点,得即,即故,函数的值域为.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形