理论力学思考题习题参考答案

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1、第一章质点力学1.5矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。解：由题可知，变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分可得：（为常数）代入初始条件：时，，故即又因为所以对等式两边同时积分，可得：1.8直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为式中为椭圆的半长轴，为偏心率，常数。解：以焦点为坐标原点则点坐标对两式分别求导故如图所示的椭圆的极坐标表示法为对求导可得（利用）又因为即所以-10-故有即（

2、其中为椭圆的半短轴）1.9质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。证：质点作平面运动，设速度表达式为令为位矢与轴正向的夹角，所以又因为速率保持为常数，即为常数对等式两边求导所以正交.1.11质点沿着半径为的圆周运动，加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化规律。出速度为。解由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示两式相比得即对等式两边分别积分即此即质点的速度随时间而变化的规律1.19将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为-10-解质点从抛出到

3、落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正上升时下降时题1.19.1图则两个过程的运动方程为：上升①下降：②对上升阶段:即对两边积分所以③即质点到达的高度.对下降阶段：即④由③=④可得1.36检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。，，解（a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式，代入上式所以此力是保守力，其势为(b)同（a），由所以此力是保守力，则其势能为-10-1.37根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有势能：＜0试求中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。解（a）因为质子与中子之间引力势能表达式为故质子与中

4、子之间的引力（b）质量为的粒子作半径为的圆运动。动量矩由（a）知提供粒子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向，故当半径为的圆周运动两式两边同乘以即又因为有做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。所以1.43质点所受的有心力如果为式中及都是常数，并且＜，则其轨道方程可写成试证明之。式中（为积分常数）。证由毕耐公式质点所受有心力做双纽线运动故故-10-1.44证由毕耐公式将力带入此式因为所以即令上式化为这是一个二阶常系数废气次方程。解之得微积分常数，取，故令所以第二章习题.2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。解均匀扇形

5、薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为所以对于半圆片的质心，即代入，有2.2如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。解建立如图2.2.1图所示的球坐标系-10-把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加设均匀球体的密度为。则由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。代入质心计算公式，即2.5半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解因为质点组队某一固定点的动量矩所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图2.5.1图所示

6、薄圆盘，任取一微质量元，所以圆盘绕此轴的动量矩=2.6一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为及两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的距离，不计空气阻力。解：炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，，速度分别变为沿水平方向的，，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求，。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒：①以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒：联立

7、①②解之，得-10-所以落地时水平距离之差=2.16雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。所以我们用书上p.138的（2.7.4）式分析①雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。②有题目可知质量增加率与表面积成正比。即③为常数。我们对②式两边求导④由于③=